Chapitre 1 • Compléments d’algèbre linéaire
6
Proposition 2
Soient E un K-ev de dimension finie et (E i ) i∈I une famille finie de sev de E telle
que la somme
i∈I
E i soit directe. On a alors :
dim
i∈I
E i
=
i∈I
dim (E i ).
Preuve
Puisque E est de dimension finie, pour tout i ∈ I, le sev E i de E admet au moins une base finie B i .
Notons B i = (e i, j ) 1 j j i . Considérons B =
i∈I
B i (réunion ordonnée).
1) Soit x ∈ E.
Puisque E =
i∈I
E i , il existe une famille (x i ) i∈I telle que :
∀i ∈ I, x i ∈ E i
x =
i∈I
x i .
Pour chaque i ∈ I, x i se décompose sur B i ; il existe (ξ j ) 1 j j i ∈ K j i tel que :
x i =
j i
j=1
ξ i, j e i, j .
On a alors :
x =
i∈I
j i
j=1
ξ i, j e i, j ,
donc x se décompose sur B.
Ceci montre que B engendre E.
2) Soit (ξ i, j ) i∈I,1 j j i une famille d'éléments de K telle que :
i∈I
j i
j=1
ξ i, j e i, j = 0.
En notant, pour chaque i ∈ I, x i =
j i
j=1
ξ i, j e i, j , on a :
∀i ∈ I, x i ∈ E i
i∈I
x i = 0.
Comme la somme
i∈I
E i est directe, il en résulte :
∀i ∈ I, x i = 0.
Soit i ∈ I. Comme
j i
j=1
ξ i, j e i, j = x i = 0 et que B i = (e i, j ) 1 j j i est libre, on déduit :
∀ j ∈ {1,..., j i }, ξ i, j = 0.
Ceci montre que B est libre.
On conclut que B est une base de E.
On a alors :
dim
i∈I
E i
= Card
i∈I
B i
=
i∈I
Card (B i ) =
i∈I
dim (E i ).
x se décompose linéairement sur les E i ,
et chaque x i se décompose
linéairement sur B i , donc x se
décompose linéairement sur B.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
En fait, on vient de montrer plus
généralement que,si E =
i∈I
E i , et
si, pour chaque i ∈ I, B i
engendre E i ,alors
i∈I
B i engendre E.
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Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Pour chaque i ∈ I, on regroupe les
termes appartenant à E i .
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Gé
ométrie Monier
En fait, on vient de montrer plus
généralement que,si la somme
i∈I
E i
est directe et si,pour chaque i ∈ I, B i
est libre dans E i ,alors
i∈I
B i est libre.
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Proposition 2
Soient E un K-ev de dimension finie et (E i ) i∈I une famille finie de sev de E telle
que la somme
i∈I
E i soit directe. On a alors :
dim
i∈I
E i
=
i∈I
dim (E i ).
Preuve
Puisque E est de dimension finie, pour tout i ∈ I, le sev E i de E admet au moins une base finie B i .
Notons B i = (e i, j ) 1 j j i . Considérons B =
i∈I
B i (réunion ordonnée).
1) Soit x ∈ E.
Puisque E =
i∈I
E i , il existe une famille (x i ) i∈I telle que :
∀i ∈ I, x i ∈ E i
x =
i∈I
x i .
Pour chaque i ∈ I, x i se décompose sur B i ; il existe (ξ j ) 1 j j i ∈ K j i tel que :
x i =
j i
j=1
ξ i, j e i, j .
On a alors :
x =
i∈I
j i
j=1
ξ i, j e i, j ,
donc x se décompose sur B.
Ceci montre que B engendre E.
2) Soit (ξ i, j ) i∈I,1 j j i une famille d'éléments de K telle que :
i∈I
j i
j=1
ξ i, j e i, j = 0.
En notant, pour chaque i ∈ I, x i =
j i
j=1
ξ i, j e i, j , on a :
∀i ∈ I, x i ∈ E i
i∈I
x i = 0.
Comme la somme
i∈I
E i est directe, il en résulte :
∀i ∈ I, x i = 0.
Soit i ∈ I. Comme
j i
j=1
ξ i, j e i, j = x i = 0 et que B i = (e i, j ) 1 j j i est libre, on déduit :
∀ j ∈ {1,..., j i }, ξ i, j = 0.
Ceci montre que B est libre.
On conclut que B est une base de E.
On a alors :
dim
i∈I
E i
= Card
i∈I
B i
=
i∈I
Card (B i ) =
i∈I
dim (E i ).
x se décompose linéairement sur les E i ,
et chaque x i se décompose
linéairement sur B i , donc x se
décompose linéairement sur B.
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En fait, on vient de montrer plus
généralement que,si E =
i∈I
E i , et
si, pour chaque i ∈ I, B i
engendre E i ,alors
i∈I
B i engendre E.
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Pour chaque i ∈ I, on regroupe les
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généralement que,si la somme
i∈I
E i
est directe et si,pour chaque i ∈ I, B i
est libre dans E i ,alors
i∈I
B i est libre.
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