1.1 • Espaces vectoriels
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Définition 1
Soient I un ensemble fini, (E i ) i∈I une famille de sev de E. On appelle somme de
(E i ) i∈I , et on note
i∈I
E i , l'ensemble des sommes
i∈I
x i lorsque (x i ) i∈I décrit
i∈I
E i :
i∈I
E i =
i∈I
x i ; ∀i ∈ I, x i ∈ E i
.
Définition 2
Soient I un ensemble fini, (E i ) i∈I une famille de sev de E. On dit que la somme
i∈I
E i est directe si et seulement si :
∀(x i ) i∈I ∈
i∈I
E i ,
i∈I
x i = 0 ⇒
∀i ∈ I, x i = 0
.
On note alors
i∈I
E i au lieu de
i∈I
E i .
Remarque :
Si F 1 ,F 2 ,F 3 sont des sev d'un ev E , on peut avoir F 1 ∩ F 2 = F 1 ∩ F 3 = F 2 ∩ F 3 = {0}
sans que la somme F 1 + F 2 + F 3 soit directe, comme le montre l'exemple de trois droites
vectorielles de R 2 deux à deux distinctes.
Définition 3
Deux sev F,G de E sont dits supplémentaires dans E si et seulement si la somme
F + G est directe et égale à E.
Proposition 1
Soient P ∈ K [X] tel que deg (P) 1, et n = deg (P) − 1. Le sev P K [X] (formé
des multiples de P) et le sev K n [X] (formé des polynômes de degré n) sont supplémentaires dans K [X].
Preuve
• Il est clair que P K [X] et K n [X] sont des sev de K [X].
• Soit M ∈ (P K [X]) ∩ K n [X]. Il existe B ∈ K [X] tel que M = P B, et deg (M) n.
Si B = 0, alors : deg (M) = deg (P) + deg (B) deg (P) = n + 1, contradiction.
Donc B = 0, puis M = 0.
Ceci montre : (P K [X]) ∩ K n [X] = {0}.
• Soit A ∈ K [X]. Par division euclidienne de A par P, il existe Q,R ∈ K [X] tels que :
A = P Q + R et deg (R) < deg (P).
On a alors : A = P Q + R, P Q ∈ P K [X], R ∈ K n [X],
ce qui montre : (P K [X]) + K n [X] = K [X].
Finalement, P K [X] et K n [X] sont des sev supplémentaires dans K [X].
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Cette Définition généralise celle vue en
1 re année pour deux sev, cf. Algèbre
PCSI-PTSI, § 6.2.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Cette définition généralise celle vue en
1 re année pour deux sev, cf. Algèbre
PCSI-PTSI, § 6.2.
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Géométrie
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Gé
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F 3
F 2
F 1
0
F et G sont supplémentaires dans E
si et seulement si :
F ∩ G = {0} et F + G = E.
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Géométrie
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Cas des polynômes à une indéterminée.
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Définition 1
Soient I un ensemble fini, (E i ) i∈I une famille de sev de E. On appelle somme de
(E i ) i∈I , et on note
i∈I
E i , l'ensemble des sommes
i∈I
x i lorsque (x i ) i∈I décrit
i∈I
E i :
i∈I
E i =
i∈I
x i ; ∀i ∈ I, x i ∈ E i
.
Définition 2
Soient I un ensemble fini, (E i ) i∈I une famille de sev de E. On dit que la somme
i∈I
E i est directe si et seulement si :
∀(x i ) i∈I ∈
i∈I
E i ,
i∈I
x i = 0 ⇒
∀i ∈ I, x i = 0
.
On note alors
i∈I
E i au lieu de
i∈I
E i .
Remarque :
Si F 1 ,F 2 ,F 3 sont des sev d'un ev E , on peut avoir F 1 ∩ F 2 = F 1 ∩ F 3 = F 2 ∩ F 3 = {0}
sans que la somme F 1 + F 2 + F 3 soit directe, comme le montre l'exemple de trois droites
vectorielles de R 2 deux à deux distinctes.
Définition 3
Deux sev F,G de E sont dits supplémentaires dans E si et seulement si la somme
F + G est directe et égale à E.
Proposition 1
Soient P ∈ K [X] tel que deg (P) 1, et n = deg (P) − 1. Le sev P K [X] (formé
des multiples de P) et le sev K n [X] (formé des polynômes de degré n) sont supplémentaires dans K [X].
Preuve
• Il est clair que P K [X] et K n [X] sont des sev de K [X].
• Soit M ∈ (P K [X]) ∩ K n [X]. Il existe B ∈ K [X] tel que M = P B, et deg (M) n.
Si B = 0, alors : deg (M) = deg (P) + deg (B) deg (P) = n + 1, contradiction.
Donc B = 0, puis M = 0.
Ceci montre : (P K [X]) ∩ K n [X] = {0}.
• Soit A ∈ K [X]. Par division euclidienne de A par P, il existe Q,R ∈ K [X] tels que :
A = P Q + R et deg (R) < deg (P).
On a alors : A = P Q + R, P Q ∈ P K [X], R ∈ K n [X],
ce qui montre : (P K [X]) + K n [X] = K [X].
Finalement, P K [X] et K n [X] sont des sev supplémentaires dans K [X].
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Cette Définition généralise celle vue en
1 re année pour deux sev, cf. Algèbre
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F 1
0
F et G sont supplémentaires dans E
si et seulement si :
F ∩ G = {0} et F + G = E.
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Cas des polynômes à une indéterminée.
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