Chapitre 1 • Compléments d’algèbre linéaire
4
K désigne un corps commutatif. Conformément au programme, on peut se limiter aux cas
K = R, K = C.
1.1 Espaces vectoriels
1.1.1 Familles libres, familles liées, familles génératrices
E désigne un K-espace vectoriel (en abrégé : K-ev), I désigne un ensemble fini.
Définition 1
On appelle combinaison linéaire d'une famille (x i ) i∈I d'éléments de E tout élément
x de E tel qu'il existe une famille (α i ) i∈I d'éléments de K, telle que x =
i∈I
α i x i .
Définition 2
1) Une famille (x i ) i∈I d'éléments de E est dite libre si et seulement si, pour toute
famille (α i ) i∈I d'éléments de K :
i∈I
α i x i = 0 ⇒
∀i ∈ I, α i = 0
.
2) Une famille (x i ) i∈I d'éléments de E est dite liée si et seulement si elle n'est pas
libre, c'est-à-dire si et seulement s'il existe une famille (α i ) i∈I d'éléments de K,
telle que :
(α i ) i∈I = (0) et
i∈I
α i x i = 0 .
Définition 3
Une famille (x i ) i∈I d'éléments de E est dite génératrice de E (ou : engendre E) si
et seulement si tout élément de E est combinaison linéaire de (x i ) i∈I .
Définition 4
Une famille (x i ) i∈I d'éléments de E est appelée base de E si et seulement si elle est
libre et génératrice de E.
La Proposition suivante est immédiate.
Proposition-Définition 5
Si (e i ) i∈I est une base de E, alors, pour tout x de E, il existe une famille (ξ i ) i∈I de K,
unique, telle que x =
i∈I
ξ i e i . Les ξ i (i ∈ I ) sont appelés les coordonnées (ou :
composantes) de x dans la base (e i ) i∈I .
1.1.2 Sommes, sommes directes
E désigne un K-ev, I désigne un ensemble fini.
On dit aussi que x est combinaison
linéaire finie des x i , i ∈ I.
Cette Définition généralise celle vue en
1 re année pour le cas d'une famille finie,
cf. Algèbre PCSI-PTSI, § 6.3.1 Déf.2.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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K désigne un corps commutatif. Conformément au programme, on peut se limiter aux cas
K = R, K = C.
1.1 Espaces vectoriels
1.1.1 Familles libres, familles liées, familles génératrices
E désigne un K-espace vectoriel (en abrégé : K-ev), I désigne un ensemble fini.
Définition 1
On appelle combinaison linéaire d'une famille (x i ) i∈I d'éléments de E tout élément
x de E tel qu'il existe une famille (α i ) i∈I d'éléments de K, telle que x =
i∈I
α i x i .
Définition 2
1) Une famille (x i ) i∈I d'éléments de E est dite libre si et seulement si, pour toute
famille (α i ) i∈I d'éléments de K :
i∈I
α i x i = 0 ⇒
∀i ∈ I, α i = 0
.
2) Une famille (x i ) i∈I d'éléments de E est dite liée si et seulement si elle n'est pas
libre, c'est-à-dire si et seulement s'il existe une famille (α i ) i∈I d'éléments de K,
telle que :
(α i ) i∈I = (0) et
i∈I
α i x i = 0 .
Définition 3
Une famille (x i ) i∈I d'éléments de E est dite génératrice de E (ou : engendre E) si
et seulement si tout élément de E est combinaison linéaire de (x i ) i∈I .
Définition 4
Une famille (x i ) i∈I d'éléments de E est appelée base de E si et seulement si elle est
libre et génératrice de E.
La Proposition suivante est immédiate.
Proposition-Définition 5
Si (e i ) i∈I est une base de E, alors, pour tout x de E, il existe une famille (ξ i ) i∈I de K,
unique, telle que x =
i∈I
ξ i e i . Les ξ i (i ∈ I ) sont appelés les coordonnées (ou :
composantes) de x dans la base (e i ) i∈I .
1.1.2 Sommes, sommes directes
E désigne un K-ev, I désigne un ensemble fini.
On dit aussi que x est combinaison
linéaire finie des x i , i ∈ I.
Cette Définition généralise celle vue en
1 re année pour le cas d'une famille finie,
cf. Algèbre PCSI-PTSI, § 6.3.1 Déf.2.
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