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CHAPITRE 1
Compléments
d’algèbre linéaire
Introduction
Nous abordons dans ce chapitre un deuxième niveau dans l’algèbre linéaire, constitué de compléments sur les espaces vectoriels et les applications
linéaires, de l’étude de la dualité et de la manipulation des matrices par
blocs.
La dualité constitue une première étape vers l’étude des distributions, qui
dépasse le cadre de cet ouvrage.
La décomposition des matrices en blocs traduit souvent des propriétés profondes des applications linéaires qu’elles représentent, et la manipulation des
blocs permet de résoudre de façon élégante certains exercices sur les matrices
et les déterminants.
Prérequis
• Espaces vectoriels, applications linéaires, matrices, déterminants
d’ordre 2 ou 3 et systèmes linéaires (Algèbre PCSI-PTSI, ch. 6 à 9)
• Espaces vectoriels normés (Analyse PC-PSI-PT, ch. 1)
• Séries (Analyse PC-PSI-PT, ch. 4)
• Séries entières (Analyse PC-PSI-PT, ch. 6).
Objectifs
• Définition et étude des notions de somme et de somme directe de plusieurs sev
• Mise en place de la théorie de la dualité en algèbre linéaire
• Acquisition des techniques de manipulation de la trace et des blocs dans
le calcul matriciel.
1.1 Espaces vectoriels
4
Exercice
9
1.2 Applications
linéaires
9
Exercices
13
1.3 Dualité
13
Exercices
22
1.4 Calcul matriciel
22
Exercices
26, 33
Plan