Chapitre 1 • Compléments d’algèbre linéaire
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1.3.2 Hyperplans
Dans ce § 1.3.2, E désigne un K-ev.
Définition
On appelle hyperplans de E les noyaux des formes linéaires sur E autres que la
forme nulle.
Autrement dit, un sev H de E est un hyperplan si et seulement si :
∃ ϕ ∈ E
∗ − {0}, H = Ker(ϕ).
On dit que la relation ϕ(x) = 0 est une équation de l'hyperplan H.
Proposition 1
Soit H un sev de E. Pour que H soit un hyperplan de E, il faut et il suffit qu'il existe
une droite vectorielle D de E telle que H et D soient supplémentaires dans E.
Preuve
1) Soit H un hyperplan de E . Il existe ϕ ∈ E ∗ − {0} telle que H = Ker(ϕ), puis il
existe x 0 ∈ E tel que ϕ(x 0 ) = 0. Nous allons montrer que la droite vectorielle D = K x 0 est supplémentaire de H dans E .
• Soit x ∈ D ∩ H. Il existe α ∈ K tel que x = α x 0 , et ϕ(x) = 0. Si α = 0 , alors
ϕ(x 0 ) =
1
α
ϕ(x) = 0, contradiction. Donc α = 0 , puis x = 0. Ceci montre : D ∩ H = {0}.
• Soit x ∈ E. Montrons qu'il existe (λ,y) ∈ K × H tel que x = λx 0 + y.
Si un tel couple (λ,y) existe, alors ϕ(x) = λϕ(x 0 ) + ϕ(y) = λϕ(x 0 ), d'où λ =
ϕ(x)
ϕ(x 0 )
,
puis y = x −
ϕ(x)
ϕ(x 0 )
x 0 .
Réciproquement, on a : x =
ϕ(x)
ϕ(x 0 )
x 0 +
x −
ϕ(x)
ϕ(x 0 )
x 0
,
et, comme ϕ
x −
ϕ(x)
ϕ(x 0 )
x 0
= ϕ(x) −
ϕ(x)
ϕ(x 0 )
ϕ(x 0 ) = 0 , x −
ϕ(x)
ϕ(x 0 )
x 0 ∈ Ker(ϕ) = H.
Ceci montre : D + H = E
Finalement : D ⊕ H = E .
2) Réciproquement, supposons qu'il existe une droite vectorielle D telle que
D ⊕ H = E . Il existe x 0 ∈ D tel que x 0 = 0. Pour tout x de E , il existe (λ,y) ∈ K × H
unique tel que x = λx 0 + y. Il est clair que l'application ϕ : E −→ K
x −→ λ
ainsi définie est linéaire.
On a alors : ϕ ∈ E ∗ − {0} (car ϕ(x 0 ) = 1 = 0 ) et Ker(ϕ) = H.
᭿
Remarque :
La preuve précédente établit que, si H est un hyperplan de E , alors, pour tout x 0 de E − H :
H ⊕ (K x 0 ) = E.
Corollaire
Si E est de dimension finie n (n 1), alors les hyperplans de E sont les sev de E de
dimension n − 1.
La notion d’hyperplan de E généralise :
• la notion de droite vectorielle d’un
plan vectoriel
• la notion de plan vectoriel d’un espace
vectoriel de dimension 3.
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Recherche de la valeur nécessaire de
(λ,y).
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Rappelons que E − H désigne E privé
de H :
E − H = {x 0 ∈ E ;x 0 /
∈ H }.
On retombe ainsi sur la Définition vue
dans Algèbre PCSI-PTSI,6.4,Déf.2,dans
le cas particulier où E est de dimension
finie.
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