6.3 • Surfaces
255
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Par symétrie par rapport (par exemple) au premier axe de coordonnées, on peut se ramener aux
cas où ε = 1 .
Selon l'usage courant, utilisons (x,y,z) au lieu de (ξ,ζ,η). On obtient ainsi deux quadriques :
x
2
a 2 +
y
2
b 2 =
2z
c
, paraboloïde elliptique
x
2
a 2 −
y
2
b 2 =
2z
c
, paraboloïde hyperbolique.
β) Cas I 1 = 0
Considérons le point A de coordonnées
−
G 1
λ
,−
H 1
µ
,0
dans R 1 , et le r.o.n.
R 2 = (A;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) . Une EC de S dans R 2 est :
λξ
2 + µζ
2 −
G
2
1
λ
−
H
2
1
µ
+ J = 0.
Comme plus haut, on peut se ramener au cas où λ > 0.
Ainsi, S admet une EC de la forme :
ξ
2
a 2 + ε
ζ
2
b 2 = α,
où (a,b) ∈ (R ∗
+ )
2 , ε ∈ {−1,1}, α ∈ {−1,0,1} .
Selon l’usage courant, utilisons (x,y,z) au lieu de (ξ,ζ,η). On obtient ainsi deux quadriques :
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1, cylindre elliptique
x
2
a 2 −
y
2
b 2 = 1, cylindre hyperbolique
les autres cas étant triviaux : φ, droite, réunion de deux plans.
b) Cas rg(Q) = 1
Dans R 1 , S admet pour EC :
λ
X +
G 1
λ
2
+ 2H 1 Y + 2I 1 Z −
G
2
1
λ
+ J = 0.
Si (H 1 ,I 1 ) = (0,0) , alors S est vide, ou est un plan, ou la réunion de deux plans parallèles.
Supposons donc (H 1 ,I 1 ) = (0,0) .
Par changement de repère par translation (nouvelle origine de coordonnées
−
G 1
λ
,0,0
dans R 1 ), puis par rotation convenable autour du nouveau premier axe de coordonnées, et enfin
par translation, on se ramène à une EC de la forme :
λξ
2 + 2H 2 ζ = 0, où H 2 ∈ R
∗ .
Selon l’usage, courant, utilisons (x,y,z) au lieu de (ξ,ζ,η). On obtient l’équation :
x
2 − 2 py = 0, cylindre parabolique
Le tableau p. 257 donne les quadriques non à centre, les cas triviaux où S est un plan ou une
réunion de deux plans étant omis.