Chapitre 6 • Géométrie
254
La quadrique S admet pour EC dans R :
(3)
λξ
2 + µζ
2 + νη
2 + J 1 = 0,
en notant (ξ,ζ,η) les coordonnées du point courant.
Puisque Q est inversible : λµν = 0.
En multipliant éventuellement dans (3) par −1 et en permutant éventuellement les rôles de
x,y,z, on se ramène au cas : λ > 0 et µ > 0.
Ainsi, S admet une EC de la forme :
ξ
2
a 2 +
ζ
2
b 2 + ε
η
2
c 2 = ε
,
où (a,b,c) ∈ (R ∗
+ )
3 , ε ∈ {−1,1}, ε ∈ {−1,0,1}, appelée équation réduite de S.
Selon l'usage courant, utilisons (x,y,z) au lieu de (ξ,ζ,η).
Voir tableau des quadriques à centre p. 256.
4) Autres quadriques
Nous poursuivons l'étude commencée dans le 2), dans le cas, maintenant, où Q n'est pas inversible.
Ainsi : rg(Q) 2 .
D'autre part, puisque (A,. . . ,F) = (0,. . . ,0) : rg(Q) 1 .
Puisque Q ∈ S 3 (R) , il existe P ∈ O 3 (R) , D ∈ D 3 (R) telles que Q = P D P −1 . Et, comme
rg(M) ∈ {1,2} , on peut, quitte à permuter les rôles de x,y,z, se ramener au cas où :
D =


λ 0 0
0 µ 0
0 0 0

 , λ ∈ R ∗ , µ ∈ R .
En notant (
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) la b.o.n déduite de (
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) par la matrice de passage P, et
R 1 = (O;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) , une EC de S dans R 1 est de la forme :
(4)
λX
2 + µY
2 + 2G 1 X + 2H 1 Y + 2I 1 Z + J = 0,
où (G 1 ,H 1 ,I 1 ) ∈ R
3 .
a) Cas rg(Q) = 2
Ici, µ = 0, et S a pour EC dans R 1 :
λ
X +
G 1
λ
2
+ µ
Y +
H 1
µ
2
+ 2I 1 Z −
G
2
1
λ
−
H
2
1
µ
+ J = 0.
α) Cas I 1 = 0
Considérons le point A de coordonnées
−
G 1
λ
, −
H 1
λ
, −
G
2
1
2λI 1
−
H
2
1
2µI 1
+
J
2I 1
dans R 1 , et le
r.o.n. R 2 = (A;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) . Une EC de S dans R 2 est :
λξ
2 + µζ
2 + 2I 1 η = 0.
En multipliant éventuellement par −1 et en échangeant éventuellement les rôles de ξ,ζ, on peut
se ramener au cas où λ > 0.
Ainsi, S admet une EC de la forme :
ξ
2
a 2 + ε
ζ
2
b 2 = ε
2z
c
,
où (a,b,c) ∈ (R ∗
+ )
3 , ε ∈ {−1,1}, ε ∈ {−1,1} .
Utilisation du théorème fondamental sur
les matrices symétriques réelles.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On peut se ramener au cas d’une b.o.n.d.
(directe), par exemple, en changeant
éventuellement
− →
K en −
− →
K .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Une des valeurs propres de Q est nulle.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
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Gé
ométrie Monier
On ne retiendra pas par cœur les résultats
obtenus dans ce paragraphe sur les autres
quadiques, mais on adoptera, dans
chaque exemple, le plan de calcul ici
développé : groupement de termes,
comme pour une mise sous forme
canonique de trinôme.