6.3 • Surfaces
253
Considérons le repère R = (Ω;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ). Les formules de changement de repère sont :
x = x 0 + X
y = y 0 + Y
z = z 0 + Z
pour un point quelconque M de E 3 , de coordonnées (x,y,z) dans R, (X,Y,Z ) dans R .
En reportant dans (1) et en développant, on obtient une EC de S dans R
:
(AX
2 + 2B XY + 2C X Z + DY
2 + 2EY Z + F Z
2 ) + 2(Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G)X
+2(Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H )Y + 2(Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ) + J 1 = 0.
Le point Ω est centre de symétrie de S si :
(2)
Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G = 0
Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H = 0
Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I = 0.
Considérons la matrice Q =
A B C
B D E
C E F
de M 3 (R), qui est symétrique.
1) Si Q est inversible, alors le système d'équations (2) admet une solution unique (x 0 ,y 0 ,z 0 ) , et
donc S admet un centre de symétrie, le point Ω(x 0 ,y 0 ,z 0 ). On dit, dans ce cas, que S est une
quadrique à centre. Nous allons approfondir cette étude dans le § 3).
2) Si Q n'est pas inversible, le système d'équations (2) n'admet pas de solution, ou bien en admet
une infinité.
Par exemple : • la quadrique d'EC x
2
− 2y = 0 (cylindre parabolique) n'admet pas de centre
de symétrie
• la quadrique d'EC x
2
+ y
2
= 1 (cylindre de révolution) admet une infinité de
centres de symétrie.
3) Quadriques à centre
Nous poursuivons l'étude commencée dans le § 2), dans le cas où Q est inversible.
Dans R = (Ω;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ), S admet comme EC :
AX
2 + 2B XY + 2C X Z + DY
2 + 2EY Z + F Z
2 + J 1 = 0,
où J 1 ∈ R.
La matrice Q =
A B C
B D E
C E F
est symétrique réelle, donc diagonalisable à l'aide d'un changement de b.o.n. (cf. 4.5.1 Th.) ; il existe P ∈ O 3 (R) , D ∈ D 3 (R) telles que : Q = P D P −1 .
Notons q la forme quadratique de matrice Q dans la base (
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ). Pour M ∈ E 3 , de coordonnées (X,Y,Z ) dans R, notons U =
X
Y
Z
, V = P −1 U. On a :
M ∈ S ⇐⇒
t U QU + J 1 = 0
⇐⇒
t U
t P
−1 D PU + J 1 = 0
⇐⇒
t U DU + J 1 = 0.
Notons (
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) la b.o.n déduite de (
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) par la matrice de passage P ; autrement
dit, par exemple, les composantes de
− →
I dans (
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) forment la 1
`
ere colonne de P.
Notons R = (Ω;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) et D =
λ 0 0
0 µ 0
0 0 ν
.
R est déduit de R par changement
d’origine.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
J 1 = Ax 2
0 + 2Bx 0 y 0 + 2Cx 0 z 0
+Dy 2
0 + 2Ey 0 z 0 + Fz 2
0
+2Gy 0 z 0 + 2H y 0 + 2I z 0 +J.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Pour la pratique,on remarquera que ce
système revient à :
(2) ⇐⇒
− − →
gradF(x 0 ,y 0 ,z 0 ) =
− →
0 .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
La matrice Q est la matrice du système
linéaire (2) précédent.
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Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Utilisation du théorème fondamental sur
les matrices symétriques réelles.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
On peut se ramener au cas d’une b.o.n.d.
(directe), par exemple, en changeant
éventuellement
− →
K en −
− →
K .
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Considérons le repère R = (Ω;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ). Les formules de changement de repère sont :
x = x 0 + X
y = y 0 + Y
z = z 0 + Z
pour un point quelconque M de E 3 , de coordonnées (x,y,z) dans R, (X,Y,Z ) dans R .
En reportant dans (1) et en développant, on obtient une EC de S dans R
:
(AX
2 + 2B XY + 2C X Z + DY
2 + 2EY Z + F Z
2 ) + 2(Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G)X
+2(Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H )Y + 2(Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ) + J 1 = 0.
Le point Ω est centre de symétrie de S si :
(2)
Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G = 0
Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H = 0
Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I = 0.
Considérons la matrice Q =
A B C
B D E
C E F
de M 3 (R), qui est symétrique.
1) Si Q est inversible, alors le système d'équations (2) admet une solution unique (x 0 ,y 0 ,z 0 ) , et
donc S admet un centre de symétrie, le point Ω(x 0 ,y 0 ,z 0 ). On dit, dans ce cas, que S est une
quadrique à centre. Nous allons approfondir cette étude dans le § 3).
2) Si Q n'est pas inversible, le système d'équations (2) n'admet pas de solution, ou bien en admet
une infinité.
Par exemple : • la quadrique d'EC x
2
− 2y = 0 (cylindre parabolique) n'admet pas de centre
de symétrie
• la quadrique d'EC x
2
+ y
2
= 1 (cylindre de révolution) admet une infinité de
centres de symétrie.
3) Quadriques à centre
Nous poursuivons l'étude commencée dans le § 2), dans le cas où Q est inversible.
Dans R = (Ω;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ), S admet comme EC :
AX
2 + 2B XY + 2C X Z + DY
2 + 2EY Z + F Z
2 + J 1 = 0,
où J 1 ∈ R.
La matrice Q =
A B C
B D E
C E F
est symétrique réelle, donc diagonalisable à l'aide d'un changement de b.o.n. (cf. 4.5.1 Th.) ; il existe P ∈ O 3 (R) , D ∈ D 3 (R) telles que : Q = P D P −1 .
Notons q la forme quadratique de matrice Q dans la base (
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ). Pour M ∈ E 3 , de coordonnées (X,Y,Z ) dans R, notons U =
X
Y
Z
, V = P −1 U. On a :
M ∈ S ⇐⇒
t U QU + J 1 = 0
⇐⇒
t U
t P
−1 D PU + J 1 = 0
⇐⇒
t U DU + J 1 = 0.
Notons (
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) la b.o.n déduite de (
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) par la matrice de passage P ; autrement
dit, par exemple, les composantes de
− →
I dans (
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) forment la 1
`
ere colonne de P.
Notons R = (Ω;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) et D =
λ 0 0
0 µ 0
0 0 ν
.
R est déduit de R par changement
d’origine.
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Gé
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J 1 = Ax 2
0 + 2Bx 0 y 0 + 2Cx 0 z 0
+Dy 2
0 + 2Ey 0 z 0 + Fz 2
0
+2Gy 0 z 0 + 2H y 0 + 2I z 0 +J.
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Pour la pratique,on remarquera que ce
système revient à :
(2) ⇐⇒
− − →
gradF(x 0 ,y 0 ,z 0 ) =
− →
0 .
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La matrice Q est la matrice du système
linéaire (2) précédent.
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Utilisation du théorème fondamental sur
les matrices symétriques réelles.
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On peut se ramener au cas d’une b.o.n.d.
(directe), par exemple, en changeant
éventuellement
− →
K en −
− →
K .
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