Chapitre 6 • Géométrie
252
6.3.4 Quadriques
1) Généralités
Définition
On appelle quadrique toute surface d'équation cartésienne F(x,y,z) = 0, où F est
un polynôme de degré total 2.
Remarques :
1) Une quadrique admet une EC de la forme :
Ax
2 + 2Bx y + 2Cxz + Dy
2 + 2Eyz + Fz
2 + 2Gx + 2H y + 2I z + J = 0,
où A,. . . ,J ∈ R.
2) On suppose (A,B,C,D,E,F) = (0,. . . ,0) ; le cas d'égalité correspond à un plan,ou ∅,ou E 3 .
3) Toute sphère (cf. Géométrie PCSI-PTSI, § 2.3.3) est une quadrique.
4) La réunion de deux plans est une quadrique.
5) On peut montrer que l'intersection d'une quadrique et d'un plan est ∅ , un plan, ou une
conique.
2) Recherche d'un éventuel centre de symétrie
Soit S une quadrique, d'EC :
(1)
Ax
2 + 2Bx y + 2Cxz + Dy
2 + 2Eyz + Fz
2 + 2Gx + 2H y + 2I z + J = 0.
Cherchons un éventuel centre de symétrie de S.
Soit Ω ∈ E 3 , (x 0 ,y 0 ,z 0 ) ses coordonnées dans R.
Conseils
Remarquer que x,y,z jouent des rôles
symétriques dans l'équation cartésienne
de S.
Cf. § 6.3.3 3) p. 249.
Solution
2) En notant σ 1 = x + y + z et σ 2 = xy + xz + yz, on a :
M(x,y,z) ∈ S ⇐⇒ σ 2 (σ
2
1 − σ 2 ) − 1 = 0.
En notant = x
2
+ y
2
+ z
2 et P = x + y + z, on a : σ 1 = P et P
2
= + 2σ 2 ,
donc σ 2 =
P
2
−
2
, d'où :
M ∈ S ⇐⇒
P
2
−
2
P
2 −
P
2
−
2
− 1 = 0
⇐⇒ (P
2 − )(P
2 + ) − 4 = 0 ⇐⇒ P
4 −
2 − 4 = 0.
Cette équation cartésienne est de la forme f (P,,) = 0, où P est (le premier
membre de l'équation cartésienne d') un plan et est (le premier membre de l'équation cartésienne d') une sphère, donc S est une surface de révolution.
L'axe de S est la droite D passant par le centre de et orthogonale à P, donc D
passe par O et est dirigée par le vecteur (1,1,1) , c'est-à-dire que D a pour système
d'équations cartésiennes x = y = z.
Une méridienne Γ de S est obtenue en coupant S par un (demi-)plan contenant D,
par exemple le plan d'équation cartésienne y = z :
Γ
(xy + xz + yz)(x
2
+ y
2
+ z
2
+ xy + xz + yz) − 1 = 0
y = z
⇐⇒
(2xy + y
2
)(x
2
+ 3y
2
+ 2xy) − 1 = 0
y = z.
La présence des coefficients 2 sera
justifiée plus loin, lors de l'utilisation
d'une forme quadratique ou d'une
matrice symétrique.
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6.3.4 Quadriques
1) Généralités
Définition
On appelle quadrique toute surface d'équation cartésienne F(x,y,z) = 0, où F est
un polynôme de degré total 2.
Remarques :
1) Une quadrique admet une EC de la forme :
Ax
2 + 2Bx y + 2Cxz + Dy
2 + 2Eyz + Fz
2 + 2Gx + 2H y + 2I z + J = 0,
où A,. . . ,J ∈ R.
2) On suppose (A,B,C,D,E,F) = (0,. . . ,0) ; le cas d'égalité correspond à un plan,ou ∅,ou E 3 .
3) Toute sphère (cf. Géométrie PCSI-PTSI, § 2.3.3) est une quadrique.
4) La réunion de deux plans est une quadrique.
5) On peut montrer que l'intersection d'une quadrique et d'un plan est ∅ , un plan, ou une
conique.
2) Recherche d'un éventuel centre de symétrie
Soit S une quadrique, d'EC :
(1)
Ax
2 + 2Bx y + 2Cxz + Dy
2 + 2Eyz + Fz
2 + 2Gx + 2H y + 2I z + J = 0.
Cherchons un éventuel centre de symétrie de S.
Soit Ω ∈ E 3 , (x 0 ,y 0 ,z 0 ) ses coordonnées dans R.
Conseils
Remarquer que x,y,z jouent des rôles
symétriques dans l'équation cartésienne
de S.
Cf. § 6.3.3 3) p. 249.
Solution
2) En notant σ 1 = x + y + z et σ 2 = xy + xz + yz, on a :
M(x,y,z) ∈ S ⇐⇒ σ 2 (σ
2
1 − σ 2 ) − 1 = 0.
En notant = x
2
+ y
2
+ z
2 et P = x + y + z, on a : σ 1 = P et P
2
= + 2σ 2 ,
donc σ 2 =
P
2
−
2
, d'où :
M ∈ S ⇐⇒
P
2
−
2
P
2 −
P
2
−
2
− 1 = 0
⇐⇒ (P
2 − )(P
2 + ) − 4 = 0 ⇐⇒ P
4 −
2 − 4 = 0.
Cette équation cartésienne est de la forme f (P,,) = 0, où P est (le premier
membre de l'équation cartésienne d') un plan et est (le premier membre de l'équation cartésienne d') une sphère, donc S est une surface de révolution.
L'axe de S est la droite D passant par le centre de et orthogonale à P, donc D
passe par O et est dirigée par le vecteur (1,1,1) , c'est-à-dire que D a pour système
d'équations cartésiennes x = y = z.
Une méridienne Γ de S est obtenue en coupant S par un (demi-)plan contenant D,
par exemple le plan d'équation cartésienne y = z :
Γ
(xy + xz + yz)(x
2
+ y
2
+ z
2
+ xy + xz + yz) − 1 = 0
y = z
⇐⇒
(2xy + y
2
)(x
2
+ 3y
2
+ 2xy) − 1 = 0
y = z.
La présence des coefficients 2 sera
justifiée plus loin, lors de l'utilisation
d'une forme quadratique ou d'une
matrice symétrique.