6.3 • Surfaces
251
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Conseils
On calcule :
z = 0, λ = −(Z − 1),
x = 1 −
X − 1
Z − 1
, y = 1 −
Y − 1
Z − 1
.
On peut laisser l'équation cartésienne sous
cette forme, la forme développée étant
plus lourde à écrire.
Comme on se propose de diviser par x, on
écarte le cas x = 0.
Cf. § 6.3.3 2) p. 246.
On obtient une directrice Γ du cône S en
coupant S par un plan ne contenant pas le
sommet Ω de S, par exemple le plan
z = 1.
Solution
⇐⇒
1−
X − 1
Z − 1
2
+
1−
Y − 1
Z − 1
2 2
−
1 −
X − 1
Z − 1
2
+
1 −
Y − 1
Z − 1
2
= 0
⇐⇒
(Z − X)
2 + (Z − Y )
2
2 + (Z − 1)
2
(Z − Y )
2 − (Z − X)
2
= 0,
ce qui donne une équation cartésienne de S.
2) On a S = S
∪ E, où S
=
(x,y,z) ∈ R
3 ; z = x
ln (x
2
+ y
2
) − 2 ln |x|
et
x = 0
et E = {0} × R × {0}.
Pour x = 0 :
z = x
ln (x
2 + y
2 ) − 2 ln |x|
⇐⇒
z
x
= ln
x
2
+ y
2
x 2
= ln
1 +
y
2
x 2
.
Une équation cartésienne de S est donc de la forme f
y
x
,
z
x
= 0, donc S est un
cône de sommet O(0,0,0) et de directrice Γ
x ln (x
2
+ y
2
) − 2 ln x = 1
z = 1.
c) 1) Un point M(X,Y,Z ) est sur S si et seulement si le cercle C M d'axe D et passant par M rencontre Γ.
Une équation cartésienne du plan P passant par M et orthogonal à D est :
(x − X) + (y − Y ) + (z − Z ) = 0.
Ce plan coupe D en un point m(x,y,z) défini par :
(x − X) + (y − Y ) + (z − Z ) = 0
y = x
z = x
⇐⇒ x = y = z =
X + Y + Z
3
.
Ce point m est sur C M si et seulement si d(m,D) = d(M,D) :
d(m,D) = d(M,D) ⇐⇒
d(m,D)
2 =
d(M,D)
2
⇐⇒ ||
− →
Am ∧ − → u ||
2 = ||
−→
AM ∧ − → u ||
2
⇐⇒
x − 1
y
z
∧
0
1
0
2
=
X − 1
Y
Z
∧
0
1
0
2
⇐⇒ (−z)
2 + (x − 1)
2 = (−Z )
2 + (X − 1)
2
⇐⇒
X + Y + Z
3
2
+
X + Y + Z
3
− 1
2
= Z
2 + (X − 1)
2
⇐⇒ (X + Y + Z )
2 + (X + Y + Z − 3)
2 − 9Z
2 − 9(X − 1)
2 = 0
⇐⇒ 2(X + Y + Z )
2 − 6(X + Y + Z ) + 9 − 9Z
2 − 9(X
2 − 2X + 1) = 0
⇐⇒ − 7X
2 + 2Y
2 − 7Z
2 + 4XY + 4X Z + 4Y Z + 12X − 6Y − 6Z = 0,
ce qui donne une équation cartésienne de S.
z
D
M
y
x
O
∆
m
Rappel :
d(m,D) =
||
− →
Am ∧ − → u ||
|| − → u ||
,
où A ∈ D et − → u est un vecteur directeur
de D.
Ici : A =
1
0
0
, − → u =
0
1
0
.
On remarque : O ∈ S.
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Conseils
On calcule :
z = 0, λ = −(Z − 1),
x = 1 −
X − 1
Z − 1
, y = 1 −
Y − 1
Z − 1
.
On peut laisser l'équation cartésienne sous
cette forme, la forme développée étant
plus lourde à écrire.
Comme on se propose de diviser par x, on
écarte le cas x = 0.
Cf. § 6.3.3 2) p. 246.
On obtient une directrice Γ du cône S en
coupant S par un plan ne contenant pas le
sommet Ω de S, par exemple le plan
z = 1.
Solution
⇐⇒
1−
X − 1
Z − 1
2
+
1−
Y − 1
Z − 1
2 2
−
1 −
X − 1
Z − 1
2
+
1 −
Y − 1
Z − 1
2
= 0
⇐⇒
(Z − X)
2 + (Z − Y )
2
2 + (Z − 1)
2
(Z − Y )
2 − (Z − X)
2
= 0,
ce qui donne une équation cartésienne de S.
2) On a S = S
∪ E, où S
=
(x,y,z) ∈ R
3 ; z = x
ln (x
2
+ y
2
) − 2 ln |x|
et
x = 0
et E = {0} × R × {0}.
Pour x = 0 :
z = x
ln (x
2 + y
2 ) − 2 ln |x|
⇐⇒
z
x
= ln
x
2
+ y
2
x 2
= ln
1 +
y
2
x 2
.
Une équation cartésienne de S est donc de la forme f
y
x
,
z
x
= 0, donc S est un
cône de sommet O(0,0,0) et de directrice Γ
x ln (x
2
+ y
2
) − 2 ln x = 1
z = 1.
c) 1) Un point M(X,Y,Z ) est sur S si et seulement si le cercle C M d'axe D et passant par M rencontre Γ.
Une équation cartésienne du plan P passant par M et orthogonal à D est :
(x − X) + (y − Y ) + (z − Z ) = 0.
Ce plan coupe D en un point m(x,y,z) défini par :
(x − X) + (y − Y ) + (z − Z ) = 0
y = x
z = x
⇐⇒ x = y = z =
X + Y + Z
3
.
Ce point m est sur C M si et seulement si d(m,D) = d(M,D) :
d(m,D) = d(M,D) ⇐⇒
d(m,D)
2 =
d(M,D)
2
⇐⇒ ||
− →
Am ∧ − → u ||
2 = ||
−→
AM ∧ − → u ||
2
⇐⇒
x − 1
y
z
∧
0
1
0
2
=
X − 1
Y
Z
∧
0
1
0
2
⇐⇒ (−z)
2 + (x − 1)
2 = (−Z )
2 + (X − 1)
2
⇐⇒
X + Y + Z
3
2
+
X + Y + Z
3
− 1
2
= Z
2 + (X − 1)
2
⇐⇒ (X + Y + Z )
2 + (X + Y + Z − 3)
2 − 9Z
2 − 9(X − 1)
2 = 0
⇐⇒ 2(X + Y + Z )
2 − 6(X + Y + Z ) + 9 − 9Z
2 − 9(X
2 − 2X + 1) = 0
⇐⇒ − 7X
2 + 2Y
2 − 7Z
2 + 4XY + 4X Z + 4Y Z + 12X − 6Y − 6Z = 0,
ce qui donne une équation cartésienne de S.
z
D
M
y
x
O
∆
m
Rappel :
d(m,D) =
||
− →
Am ∧ − → u ||
|| − → u ||
,
où A ∈ D et − → u est un vecteur directeur
de D.
Ici : A =
1
0
0
, − → u =
0
1
0
.
On remarque : O ∈ S.