Chapitre 6 • Géométrie
250
Conseils
On a :
z = 0, λ = Z ,
x = X − 2Z , y = Y − 3Z .
On remarque que l'on peut grouper
convenablement les termes de l'équation
cartésienne de S. Les deux plans choisis
peuvent être aussi naturellement :
y − z = 0, 2x + y + z = 0.
Cf. § 6.3.3 1) p. 244.
Une directrice Γ de S est obtenue en
coupant S par un plan non parallèle à D,
par exemple le plan d'équation cartésienne
z = 0.
On recherche l'éventuelle direction des
génératrices de S (si S est bien un cylindre)
de manière indirecte, à l'aide de plans tangents à S.
Solution
Ainsi :
M ∈ S ⇐⇒ ∃ (λ,x,y,z) ∈ R
4
X − x = 2λ, Y − y = 3λ, Z − z = λ, x
3 + y
3 + 3xy − 1 = 0, z = 0
⇐⇒ (X − 2Z )
3 + (Y − 3Z )
3 + 3(X − 2Z )(Y − 3Z ) − 1 = 0,
ce qui donne une équation cartésienne de S.
2) 1 re méthode :
En notant P = x + y, Q = x + z, l'équation cartésienne de S donnée dans l'énoncé devient :
ln
1 + (P − Q)
2
+ P + Q = 0,
donc est du type f (P,Q) = 0.
Il en résulte que S est un cylindre, de génératrices parallèles à la droite
D
x + y = 0
x + z = 0
c'est-à-dire parallèles au vecteur − → u (−1,1,1), et de directrice
Γ
ln (1 + y
2
) + 2x + y = 0
z = 0.
2 è méthode :
En notant
F : R
3 −→ R, (x,y,z) −→ F(x,y,z) = ln
1 + (y − z)
2
+ 2x + y + z,
on a :
− −− →
gradF(x,y,z) =
2
2(y − z)
1 + (y − z) 2 + 1
−
2(y − z)
1 + (y − z) 2 + 1
∈ Vect
2
1
1
,
0
1
−1
.
Il en résulte que le plan tangent en tout point de S est parallèle au vecteur
2
1
1
∧
0
1
−1
=
−2
2
2
, c'est-à-dire est parallèle à la droite D
x + y = 0
x + z = 0.
Ceci justifie alors le groupement de termes de la première méthode, et on termine
comme dans la première méthode.
b) 1) Un point M(X,Y,Z ) est sur S si et seulement s'il existe un point m ∈ Γ tel
que
−→
m M soit colinéaire à
− − →
Ω M . Ainsi :
M ∈ S ⇐⇒ ∃ (λ,x,y,z) ∈ R
4 ,
X − 1 = λ(x − 1), Y − 1 = λ(y − 1), Z − 1 = λ(z − 1)
(x
2
+ y
2
)
2
− x
2
+ y
2
= 0, z = 0
y
M
y
O
W
G
m
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Conseils
On a :
z = 0, λ = Z ,
x = X − 2Z , y = Y − 3Z .
On remarque que l'on peut grouper
convenablement les termes de l'équation
cartésienne de S. Les deux plans choisis
peuvent être aussi naturellement :
y − z = 0, 2x + y + z = 0.
Cf. § 6.3.3 1) p. 244.
Une directrice Γ de S est obtenue en
coupant S par un plan non parallèle à D,
par exemple le plan d'équation cartésienne
z = 0.
On recherche l'éventuelle direction des
génératrices de S (si S est bien un cylindre)
de manière indirecte, à l'aide de plans tangents à S.
Solution
Ainsi :
M ∈ S ⇐⇒ ∃ (λ,x,y,z) ∈ R
4
X − x = 2λ, Y − y = 3λ, Z − z = λ, x
3 + y
3 + 3xy − 1 = 0, z = 0
⇐⇒ (X − 2Z )
3 + (Y − 3Z )
3 + 3(X − 2Z )(Y − 3Z ) − 1 = 0,
ce qui donne une équation cartésienne de S.
2) 1 re méthode :
En notant P = x + y, Q = x + z, l'équation cartésienne de S donnée dans l'énoncé devient :
ln
1 + (P − Q)
2
+ P + Q = 0,
donc est du type f (P,Q) = 0.
Il en résulte que S est un cylindre, de génératrices parallèles à la droite
D
x + y = 0
x + z = 0
c'est-à-dire parallèles au vecteur − → u (−1,1,1), et de directrice
Γ
ln (1 + y
2
) + 2x + y = 0
z = 0.
2 è méthode :
En notant
F : R
3 −→ R, (x,y,z) −→ F(x,y,z) = ln
1 + (y − z)
2
+ 2x + y + z,
on a :
− −− →
gradF(x,y,z) =
2
2(y − z)
1 + (y − z) 2 + 1
−
2(y − z)
1 + (y − z) 2 + 1
∈ Vect
2
1
1
,
0
1
−1
.
Il en résulte que le plan tangent en tout point de S est parallèle au vecteur
2
1
1
∧
0
1
−1
=
−2
2
2
, c'est-à-dire est parallèle à la droite D
x + y = 0
x + z = 0.
Ceci justifie alors le groupement de termes de la première méthode, et on termine
comme dans la première méthode.
b) 1) Un point M(X,Y,Z ) est sur S si et seulement s'il existe un point m ∈ Γ tel
que
−→
m M soit colinéaire à
− − →
Ω M . Ainsi :
M ∈ S ⇐⇒ ∃ (λ,x,y,z) ∈ R
4 ,
X − 1 = λ(x − 1), Y − 1 = λ(y − 1), Z − 1 = λ(z − 1)
(x
2
+ y
2
)
2
− x
2
+ y
2
= 0, z = 0
y
M
y
O
W
G
m