6.3 • Surfaces
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relation du genre f (λ,µ) = 0. On en déduit que S admet une équation de la forme f (P,Σ) = 0 ,
où P et Σ sont (les premiers membres des équations d') un plan et (d') une sphère.
D'où la règle pratique :
On reconnaît qu'une surface S est de révolution lorqu'elle admet une EC de la forme
f (P,Σ) = 0, où P est un plan et Σ une sphère. De plus, dans ces conditions, l'axe de
S est la droite passant par le centre de Σ et orthogonale à P.
Exemple :
La surface S d'EC xy + yz + zx + x + y + z + 1 = 0
est de révolution puisque, en
notant P = x + y + z et Σ = x
2
+ y
2
+ z
2 , S admet pour équation :
P
2 − Σ + 2P + 2 = 0.
L'axe de S est la droite passant par O et dirigée par
− →
i +
− →
j +
− →
k .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Comment reconnaître une surface de
révolution sur son EC.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercice-type résolu
Représentations paramétriques et équations cartésiennes de cylindres, cônes, surfaces de révolution
a) 1) Former une équation cartésienne du cylindre S de directrice Γ
x
3
+ y
3
− 3xy − 1 = 0
z = 0
et à génératrices parallèles au vecteur − → u (2,3,1).
2) Reconnaître la surface S d'équation cartésienne : ln
1 + (y − z)
2
+ 2x + y + z = 0.
b) 1) Former une représentation paramétrique du cône S de sommet Ω ( 1, 1, 1 ) et de directrice
Γ
(x
2
+ y
2
)
2
− x
2
+ y
2
= 0
z = 0.
2) Reconnaître la surface S d'équation cartésienne : z =
x
ln (x
2
+ y
2
) − 2 ln |x|
si x = 0
0
s i x = 0.
c) 1) Former une représentation paramétrique de la surface de révolution S obtenue en faisant tourner la droite Γ
x = 1
z = 0
autour
de la droite D
y = x
z = x.
2) Reconnaître la surface S d'équation cartésienne :
(xy + xz + yz)(x
2 + y
2 + z
2 + xy + xz + yz) − 1 = 0.
Conseils
Solution
a) 1) Un point M(X,Y,Z ) est sur S si et seulement s'il existe m(x,y,z) ∈ Γ tel que
−→
m M soit colinéaire à − → u (2,3,1).
z
M
y
u
O
G
m