Chapitre 6 • Géométrie
248
Sur cette dernière équation, on voit que, si un point m(X,Y,Z ), distinct de Ω, est sur S, alors
la droite (Ωm) est incluse dans S.
Finalement, S est un cône, de sommet Ω(1,−2,1).
3) Surfaces de révolution
Définition
On appelle surface de révolution la surface S
obtenue en faisant tourner une courbe Γ autour
d'une droite ∆.
On dit que ∆ est l'axe de S.
On appelle méridienne (ou : demi-méridienne)
de S l'intersection de S avec un demi-plan limité
par ∆.
On appelle parallèles de S les cercles d'axe ∆ et
rencontrant Γ.
Remarque :
1) Le lecteur montrera que, « sauf exceptions », une surface de révolution a un axe unique.
2) Avec les notations de la Définition, S est la réunion de ses parallèles.
Exemple :
Former une représentation paramétrique et une équation cartésienne du tore, qui est
la surface S obtenue en faisant tourner un cercle autour d'une droite du plan de ce
cercle.
Dans R, considérons le cercle Γ d'équations
x = 0
(y − a)
2
+ z
2
= r
2
,
pour (a,r) ∈ (R ∗
+ )
2 fixé, et faisons tourner Γ autour
de z z .
On obtient une RP du tore S :
x = a cos θ + r cos θ cos α
y = a sin θ + r sin θ cos α
z = r sin α
, (θ,α) ∈ [−π; π]
2
(ou R
2 ).
À partir de cette RP, on peut obtenir une EC de S en éliminant (θ,α) :
∃(θ,α) ∈ R
2 ,
x = (a + r cos α)cos θ
y = (a + r cos α)sin θ
z = r sin α
⇐⇒
∃α ∈ R,
x
2
+ y
2
= (a + r cos α)
2
z = r sin α
⇐⇒
∃α ∈ R,
x
2
+ y
2
− a
2
− (r
2
− z
2
) = 2ar cos α
z = r sin α
⇐⇒
(x
2 + y
2 + z
2 ) − (a
2 + r
2 )
2 + 4a
2 z
2 = 4a
2 r
2
⇐⇒ (x
2 + y
2 + z
2 )
2 − 2(a
2 + r
2 )(x
2 + y
2 ) + 2(a
2 − r
2 )z
2 + (a
2 − r
2 )
2 = 0.
Soient ∆ une droite, Γ une courbe, S la surface de révolution obtenue en faisant tourner Γ
autour de ∆ , P un plan orthogonal à ∆ , ω un point de ∆ , Σ une sphère de centre ω.
Un cercle d'axe ∆ , étant intersection d'un plan parallèle à P et d'une sphère de centre ω, admet
un SEC
P = λ
Σ = µ
, où (λ,µ) ∈ R
2 . Ce cercle rencontre Γ si et seulement si (λ,µ) satisfait une
∆
Γ
M M
a
a -- r
a + r
O
θ
ϕ ϕ
y
x
z
Le tore est donc une surface du
quatrième degré.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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Sur cette dernière équation, on voit que, si un point m(X,Y,Z ), distinct de Ω, est sur S, alors
la droite (Ωm) est incluse dans S.
Finalement, S est un cône, de sommet Ω(1,−2,1).
3) Surfaces de révolution
Définition
On appelle surface de révolution la surface S
obtenue en faisant tourner une courbe Γ autour
d'une droite ∆.
On dit que ∆ est l'axe de S.
On appelle méridienne (ou : demi-méridienne)
de S l'intersection de S avec un demi-plan limité
par ∆.
On appelle parallèles de S les cercles d'axe ∆ et
rencontrant Γ.
Remarque :
1) Le lecteur montrera que, « sauf exceptions », une surface de révolution a un axe unique.
2) Avec les notations de la Définition, S est la réunion de ses parallèles.
Exemple :
Former une représentation paramétrique et une équation cartésienne du tore, qui est
la surface S obtenue en faisant tourner un cercle autour d'une droite du plan de ce
cercle.
Dans R, considérons le cercle Γ d'équations
x = 0
(y − a)
2
+ z
2
= r
2
,
pour (a,r) ∈ (R ∗
+ )
2 fixé, et faisons tourner Γ autour
de z z .
On obtient une RP du tore S :
x = a cos θ + r cos θ cos α
y = a sin θ + r sin θ cos α
z = r sin α
, (θ,α) ∈ [−π; π]
2
(ou R
2 ).
À partir de cette RP, on peut obtenir une EC de S en éliminant (θ,α) :
∃(θ,α) ∈ R
2 ,
x = (a + r cos α)cos θ
y = (a + r cos α)sin θ
z = r sin α
⇐⇒
∃α ∈ R,
x
2
+ y
2
= (a + r cos α)
2
z = r sin α
⇐⇒
∃α ∈ R,
x
2
+ y
2
− a
2
− (r
2
− z
2
) = 2ar cos α
z = r sin α
⇐⇒
(x
2 + y
2 + z
2 ) − (a
2 + r
2 )
2 + 4a
2 z
2 = 4a
2 r
2
⇐⇒ (x
2 + y
2 + z
2 )
2 − 2(a
2 + r
2 )(x
2 + y
2 ) + 2(a
2 − r
2 )z
2 + (a
2 − r
2 )
2 = 0.
Soient ∆ une droite, Γ une courbe, S la surface de révolution obtenue en faisant tourner Γ
autour de ∆ , P un plan orthogonal à ∆ , ω un point de ∆ , Σ une sphère de centre ω.
Un cercle d'axe ∆ , étant intersection d'un plan parallèle à P et d'une sphère de centre ω, admet
un SEC
P = λ
Σ = µ
, où (λ,µ) ∈ R
2 . Ce cercle rencontre Γ si et seulement si (λ,µ) satisfait une
∆
Γ
M M
a
a -- r
a + r
O
θ
ϕ ϕ
y
x
z
Le tore est donc une surface du
quatrième degré.
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