6.3 • Surfaces
247
Preuve
Le cône S admet une RP
φ : I × R −→ E 3
(t,λ) −→Ω+λ
−−−→
Ωm(t)
où
m : I −→ E 3 est une RP de Γ, de classe C
1 , et Ω le sommet
de S.
Comme
− →
∂φ
∂λ
(t,λ) =
−−−→
Ωm(t) et que
−−−→
Ωm(t) dirige la génératrice de M (on supposera Ω ∈ Γ), le plan tangent en M à S
contient la génératrice de M .
Remarques :
1) Soit S un cône, de sommet Ω, de directrice Γ.
Supposons que Γ soit plane et régulière et que Ω ne soit pas dans le plan P de Γ.
En notant m : I −→ E 3 une RP de Γ, une RP de S est :
φ : I × R −→ E 3
(t,λ) −→Ω+λ
−−−→
Ωm(t)
.
Alors, φ est de classe C
1 et, pour tout (t,λ) de I × R ∗ :
− →
∂φ
∂t
(t,λ) = λ
−−→
m
(t),
− →
∂φ
∂λ
(t,λ) =
−−−→
Ωm(t).
Par hypothèse : λ = 0,
−−→
m
(t) = 0,
−−→
m
(t) ∈
− →
P ,
−−−→
Ωm(t) ∈
− →
P .
Il en résulte que
− →
∂φ
∂t
(t,λ),
− →
∂φ
∂λ
(t,λ)
est libre, et ainsi, tout point de S, sauf Ω, est
régulier.
De plus, le plan tangent en M ( = Ω) à S est le plan passant par M et contenant la génératrice de M et la tangente en m à Γ.
2) Le sommet Ω du cône S est un point non régulier de S.
Exemple :
Montrer que S : x
2
+ xy − xz + y
2
+ z
2
+ x + 3y − z + 3 = 0 est un cône, et trouver son sommet Ω.
En notant F(x,y,z) le premier membre de l'équation donnée, on cherche un point Ω(x,y,z)
de S non régulier, donc (cf. 6.3.2 2) Th. p. 240) en lequel
− − →
gradF s'annule :
F
x (x,y,z) = 0
F
y (x,y,z) = 0
F
z (x,y,z) = 0
⇐⇒
2x + y − z + 1 = 0
x + 2y + 3 = 0
−x + 2z − 1 = 0
⇐⇒
x = 1
y = −2
z = 1
.
On vérifie que le point Ω(1,−2,1) est sur S.
Prenons comme nouveau repère R = (Ω;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ).
Les formules de changement de repère sont :
x = X + 1
y = Y − 2
z = Z + 1
, et, en reportant, on déduit
une EC de S dans R :
(X + 1)
2 + (X + 1)(Y − 2) − (X + 1)(Z + 1) + (Y − 2)
2
+(Z + 1)
2 + (X + 1) + 3(Y − 2) − (Z + 1) + 3 = 0,
c'est-à-dire : X
2
+ XY − X Z + Y
2
+ Z
2
= 0 .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Ω
Γ
M
S
En pratique, le sommet d'un cône est
souvent le seul point non régulier de S.
Ceci permet, sur des exemples, de
trouver l'éventuel sommet d'un éventuel
cône à partir d'une équation cartésienne.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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Preuve
Le cône S admet une RP
φ : I × R −→ E 3
(t,λ) −→Ω+λ
−−−→
Ωm(t)
où
m : I −→ E 3 est une RP de Γ, de classe C
1 , et Ω le sommet
de S.
Comme
− →
∂φ
∂λ
(t,λ) =
−−−→
Ωm(t) et que
−−−→
Ωm(t) dirige la génératrice de M (on supposera Ω ∈ Γ), le plan tangent en M à S
contient la génératrice de M .
Remarques :
1) Soit S un cône, de sommet Ω, de directrice Γ.
Supposons que Γ soit plane et régulière et que Ω ne soit pas dans le plan P de Γ.
En notant m : I −→ E 3 une RP de Γ, une RP de S est :
φ : I × R −→ E 3
(t,λ) −→Ω+λ
−−−→
Ωm(t)
.
Alors, φ est de classe C
1 et, pour tout (t,λ) de I × R ∗ :
− →
∂φ
∂t
(t,λ) = λ
−−→
m
(t),
− →
∂φ
∂λ
(t,λ) =
−−−→
Ωm(t).
Par hypothèse : λ = 0,
−−→
m
(t) = 0,
−−→
m
(t) ∈
− →
P ,
−−−→
Ωm(t) ∈
− →
P .
Il en résulte que
− →
∂φ
∂t
(t,λ),
− →
∂φ
∂λ
(t,λ)
est libre, et ainsi, tout point de S, sauf Ω, est
régulier.
De plus, le plan tangent en M ( = Ω) à S est le plan passant par M et contenant la génératrice de M et la tangente en m à Γ.
2) Le sommet Ω du cône S est un point non régulier de S.
Exemple :
Montrer que S : x
2
+ xy − xz + y
2
+ z
2
+ x + 3y − z + 3 = 0 est un cône, et trouver son sommet Ω.
En notant F(x,y,z) le premier membre de l'équation donnée, on cherche un point Ω(x,y,z)
de S non régulier, donc (cf. 6.3.2 2) Th. p. 240) en lequel
− − →
gradF s'annule :
F
x (x,y,z) = 0
F
y (x,y,z) = 0
F
z (x,y,z) = 0
⇐⇒
2x + y − z + 1 = 0
x + 2y + 3 = 0
−x + 2z − 1 = 0
⇐⇒
x = 1
y = −2
z = 1
.
On vérifie que le point Ω(1,−2,1) est sur S.
Prenons comme nouveau repère R = (Ω;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ).
Les formules de changement de repère sont :
x = X + 1
y = Y − 2
z = Z + 1
, et, en reportant, on déduit
une EC de S dans R :
(X + 1)
2 + (X + 1)(Y − 2) − (X + 1)(Z + 1) + (Y − 2)
2
+(Z + 1)
2 + (X + 1) + 3(Y − 2) − (Z + 1) + 3 = 0,
c'est-à-dire : X
2
+ XY − X Z + Y
2
+ Z
2
= 0 .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Ω
Γ
M
S
En pratique, le sommet d'un cône est
souvent le seul point non régulier de S.
Ceci permet, sur des exemples, de
trouver l'éventuel sommet d'un éventuel
cône à partir d'une équation cartésienne.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
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