Chapitre 6 • Géométrie
246
Exemple :
Le cône de sommet Ω(1,−1,1) et de directrice Γ (x = t,y = t
2
,z = t
3
,t ∈ R) admet pour
RP :
x = 1 + λ(t − 1)
y = −1 + λ(t
2
+ 1)
z = 1 + λ(t
3
+ 1)
, (t,λ) ∈ R
2 .
Soit S un cône, de sommet Ω, de directrice Γ. On suppose
que Γ est plane et que Ω n'est pas dans le (un) plan P de
Γ. Il existe un repère (orthonormé direct)
R = (Ω;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) tel que le plan P admette pour EC
dans R :
Z = h (h ∈ R
∗
+ ).
La courbe Γ admet un SEC :
f (X,Y ) = 0
Z = h.
On a, pour tout point M(X,Y,Z ) de E 3 tel que Z = 0 :
M ∈ S ⇐⇒ (∃m ∈ Γ, ∃λ ∈ R
∗ ,
− − →
Ω M = λ
−→
Ωm)
⇐⇒
∃(X 1 ,Y 1 ,λ) ∈ R × R × R
∗ , X = λX 1 , Y = λY 1 , Z = λh, f (X 1 ,Y 1 ) = 0
⇐⇒ f
h X
Z
,
hY
Z
= 0.
D'où la règle pratique :
On reconnaît qu'une surface est un cône lorsqu'elle admet une EC de la forme
f
P
R
,
Q
R
= 0, où P,Q,R sont des plans (sécants en un seul point). De plus, dans ces
conditions, le sommet Ω de S est défini par : P = 0, Q = 0, R = 0.
Exemple :
Reconnaître la surface S d'EC : z
2
− xy − 2z + 1 = 0.
Il est clair que cette équation peut s'écrire :
−xy + (z − 1)
2 = 0.
Pour diviser par (z − 1)
2 (par exemple), considérons la surface S obtenue en enlevant à S
les deux droites de SEC
x = 0
z = 1
,
y = 0
z = 1
. Ainsi, S admet pour EC :
−
x
z − 1
y
z − 1
+ 1 = 0, qui est de la forme f
P
R
,
Q
R
= 0, avec :
P = x, Q = y, R = z − 1, f : (u,v) −→ −uv + 1.
Donc S est un cône, de sommet Ω(0,0,1).
On obtient une directrice de S en coupant S par un plan ne contenant pas Ω, par exemple
le plan x Oy ; d'où une EC d'une directrice Γ de S :
xy = 1
z = 0.
Proposition
Le plan tangent en un point régulier d'un cône contient la génératrice de ce point.
Γ
Ω
Z
Y
X
h
Comment reconnaître un cône sur
son EC.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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Exemple :
Le cône de sommet Ω(1,−1,1) et de directrice Γ (x = t,y = t
2
,z = t
3
,t ∈ R) admet pour
RP :
x = 1 + λ(t − 1)
y = −1 + λ(t
2
+ 1)
z = 1 + λ(t
3
+ 1)
, (t,λ) ∈ R
2 .
Soit S un cône, de sommet Ω, de directrice Γ. On suppose
que Γ est plane et que Ω n'est pas dans le (un) plan P de
Γ. Il existe un repère (orthonormé direct)
R = (Ω;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) tel que le plan P admette pour EC
dans R :
Z = h (h ∈ R
∗
+ ).
La courbe Γ admet un SEC :
f (X,Y ) = 0
Z = h.
On a, pour tout point M(X,Y,Z ) de E 3 tel que Z = 0 :
M ∈ S ⇐⇒ (∃m ∈ Γ, ∃λ ∈ R
∗ ,
− − →
Ω M = λ
−→
Ωm)
⇐⇒
∃(X 1 ,Y 1 ,λ) ∈ R × R × R
∗ , X = λX 1 , Y = λY 1 , Z = λh, f (X 1 ,Y 1 ) = 0
⇐⇒ f
h X
Z
,
hY
Z
= 0.
D'où la règle pratique :
On reconnaît qu'une surface est un cône lorsqu'elle admet une EC de la forme
f
P
R
,
Q
R
= 0, où P,Q,R sont des plans (sécants en un seul point). De plus, dans ces
conditions, le sommet Ω de S est défini par : P = 0, Q = 0, R = 0.
Exemple :
Reconnaître la surface S d'EC : z
2
− xy − 2z + 1 = 0.
Il est clair que cette équation peut s'écrire :
−xy + (z − 1)
2 = 0.
Pour diviser par (z − 1)
2 (par exemple), considérons la surface S obtenue en enlevant à S
les deux droites de SEC
x = 0
z = 1
,
y = 0
z = 1
. Ainsi, S admet pour EC :
−
x
z − 1
y
z − 1
+ 1 = 0, qui est de la forme f
P
R
,
Q
R
= 0, avec :
P = x, Q = y, R = z − 1, f : (u,v) −→ −uv + 1.
Donc S est un cône, de sommet Ω(0,0,1).
On obtient une directrice de S en coupant S par un plan ne contenant pas Ω, par exemple
le plan x Oy ; d'où une EC d'une directrice Γ de S :
xy = 1
z = 0.
Proposition
Le plan tangent en un point régulier d'un cône contient la génératrice de ce point.
Γ
Ω
Z
Y
X
h
Comment reconnaître un cône sur
son EC.
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