6.3 • Surfaces
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Preuve :
Le cylindre S admet une RP φ : I × R −→ E 3
(t,λ) −→m(t)+λ − → u
, où
m : I −→ R est une RP de Γ, de classe C
1 , et − → u dirige les génératrices.
Comme
− →
∂φ
∂λ
(t,λ) = − → u , le plan tangent en M(t,λ) à S contient
la droite passant par M et dirigée par − → u , c'est-à-dire la génératrice de M .
᭿
Remarque :
Soit S un cylindre, de directrice Γ, de direction des génératrices . Supposons que Γ soit
plane et régulière, et que ne soit pas parallèle au plan P de Γ.
En notant m : I −→ E 3 une RP de Γ, une RP de S est : φ : I × R −→ E 3
(t,λ) −→m(t)+λ − → u
.
Alors φ est de classe C
1 , et, pour tout (t,λ) de I × R :
− →
∂φ
∂t
(t,λ) =
−−→
m
(t),
− →
∂φ
∂λ
(t,λ) = − → u .
Par hypothèse :
−−→
m
(t) =
− →
0 ,
−−→
m
(t) ∈
− →
P , − → u ∈
− →
P .
Il en résulte que
− →
∂φ
∂t
(t,λ),
− →
∂φ
∂λ
(t,λ)
est libre, et ainsi, tout point de S est régulier.
De plus, le plan tangent en M à S est le plan passant par M et contenant la génératrice de M
et la tangente en m à Γ.
2) Cônes
Définition
Soient Ω un point de E 3 , Γ une courbe. On appelle cône
S de sommet Ω et de directrice Γ la réunion des
droites passant par Ω et rencontrant Γ.
Pour tout point M du cône S, sauf Ω, on appelle génératrice de M (sur S) la droite (Ω M).
Remarques :
1) On impose souvent la condition Ω ∈ Γ, ou, si Γ est plane dans un plan P, Ω ∈ P .
2) Le sommet Ω du cône S n'a pas de génératrice.
3) Sauf cas particuliers que le lecteur décèlera facilement, un cône admet un sommet et un
seul, et une infinité de directrices.
Soit m : I −→ E 3
t −→m(t)
une RP de Γ.
Alors, une RP du cône S de sommet Ω et de directrice Γ
est :
φ : I × R −→ E 3
(t,λ) −→Ω+λ
−−−→
Ωm(t)
, c'est-à-dire, en notant M(t,λ) le
point courant de S :
−−−−−→
Ω M(t,λ) = λ
−−−→
Ωm(t).
Le sommet Ω est obtenu pour λ = 0 (et t quelconque).
S
M
u
Ω
Γ
M
S
Ω
Γ
M
S
m
Rappelons que Γ admet la RP
t −→ m(t).