Chapitre 6 • Géométrie
244
6.3.3 Surfaces usuelles
1) Cylindres
Définition
Soient Λ une direction de droites et Γ une courbe.
On appelle cylindre (ou : surface cylindrique) de
directrice Γ et de direction des génératrices
la réunion S des droites de E 3 de direction Λ et
rencontrant Γ.
Pour tout point M du cylindre S, on appelle génératrice de M (sur S) la droite passant par M et de
direction Λ.
On appelle section droite du cylindre S l'intersection de S avec un plan orthogonal à Λ.
Sauf cas particuliers que le lecteur décèlera facilement, un point d'un cylindre admet une génératrice et une seule, et le cylindre admet une infinité de directrices.
Soient − → u un vecteur dirigeant Λ et m : I −→ E 3
t −→m(t)
une RP
de Γ.
Alors, une RP du cylindre S de directrice Γ et de direction
des génératrices Λ est :
I × R −→ E 3
(t,λ) −→m(t)+λ − → u
.
Exemple :
Une RP du cylindre de directrice Γ (x = t,y = t
2
,z = t
3
,t ∈ R) et à génératrices parallèles
à − → u (2,1,−3) est :
x = t + 2λ
y = t
2
+ λ
z = t
3
− 3λ
, (t,λ) ∈ R
2 .
Soit S un cylindre, de directrice Γ, de direction des génératrices Λ . Considérons un repère
R = (O;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) tel que
− →
K dirige Λ . Le cylindre S admet, dans R , une EC de la forme :
f (X,Y ) = 0. Dans le repère initial R, S admet donc une EC de la forme f (P,Q) = 0, où P,Q
sont des « (premiers membres d'EC de) plans ». D'où la règle pratique :
On reconnaît qu'une surface S est un cylindre lorsqu'elle admet une EC de la forme
f (P,Q) = 0 , où P,Q sont des plans sécants. De plus, dans ces conditions, les génératrices de
S sont parallèles à la droite d'EC
P = 0
Q = 0
.
Exemple :
La surface S d'EC :
e x
2 +y
2 +z
2 − (x + z)e −2xz = 0 est un cylindre puisque, en notant
P = x + z et Q = y , S admet pour EC : e P
2 +Q
2 − P = 0.
Les génératrices de S sont parallèles à
− →
i −
− →
k .
Proposition
Le plan tangent en un point régulier d'un cylindre contient la génératrice de ce point.
Γ
S
V
Γ
S
V
m
M
Se donner une direction de droites Λ
revient à se donner un vecteur (non
nul) dirigeant Λ.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Rappelons que Γ admet la RP
t −→ m(t) et que − → u dirige Λ.
Comment reconnaître un cylindre sur
son EC.
Monie r Algèbre Monier
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244
6.3.3 Surfaces usuelles
1) Cylindres
Définition
Soient Λ une direction de droites et Γ une courbe.
On appelle cylindre (ou : surface cylindrique) de
directrice Γ et de direction des génératrices
la réunion S des droites de E 3 de direction Λ et
rencontrant Γ.
Pour tout point M du cylindre S, on appelle génératrice de M (sur S) la droite passant par M et de
direction Λ.
On appelle section droite du cylindre S l'intersection de S avec un plan orthogonal à Λ.
Sauf cas particuliers que le lecteur décèlera facilement, un point d'un cylindre admet une génératrice et une seule, et le cylindre admet une infinité de directrices.
Soient − → u un vecteur dirigeant Λ et m : I −→ E 3
t −→m(t)
une RP
de Γ.
Alors, une RP du cylindre S de directrice Γ et de direction
des génératrices Λ est :
I × R −→ E 3
(t,λ) −→m(t)+λ − → u
.
Exemple :
Une RP du cylindre de directrice Γ (x = t,y = t
2
,z = t
3
,t ∈ R) et à génératrices parallèles
à − → u (2,1,−3) est :
x = t + 2λ
y = t
2
+ λ
z = t
3
− 3λ
, (t,λ) ∈ R
2 .
Soit S un cylindre, de directrice Γ, de direction des génératrices Λ . Considérons un repère
R = (O;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) tel que
− →
K dirige Λ . Le cylindre S admet, dans R , une EC de la forme :
f (X,Y ) = 0. Dans le repère initial R, S admet donc une EC de la forme f (P,Q) = 0, où P,Q
sont des « (premiers membres d'EC de) plans ». D'où la règle pratique :
On reconnaît qu'une surface S est un cylindre lorsqu'elle admet une EC de la forme
f (P,Q) = 0 , où P,Q sont des plans sécants. De plus, dans ces conditions, les génératrices de
S sont parallèles à la droite d'EC
P = 0
Q = 0
.
Exemple :
La surface S d'EC :
e x
2 +y
2 +z
2 − (x + z)e −2xz = 0 est un cylindre puisque, en notant
P = x + z et Q = y , S admet pour EC : e P
2 +Q
2 − P = 0.
Les génératrices de S sont parallèles à
− →
i −
− →
k .
Proposition
Le plan tangent en un point régulier d'un cylindre contient la génératrice de ce point.
Γ
S
V
Γ
S
V
m
M
Se donner une direction de droites Λ
revient à se donner un vecteur (non
nul) dirigeant Λ.
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Rappelons que Γ admet la RP
t −→ m(t) et que − → u dirige Λ.
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