6.3 • Surfaces
243
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice-type résolu
Étude de plan tangent
On munit E 3 d'un repère R = (O ;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) . Soient a ∈ R
∗
, S 1 ,S 2 les surfaces d'équations :
S 1 | x
2 + y
2 − z
2 = a
2 ,
S 2 | (x − 2a)
2 − y
2 + z
2 = a
2 .
Déterminer S 1 ∩ S 2 et montrer qu'en tout point de S 1 ∩ S 2 , les surfaces S 1 et S 2 sont tangentes (c'est-à-dire : ont le même plan
tangent).
Conseils
L 2 ←− L 2 + L 1 .
Cf. § 6.3.2 2), Théorème.
On pouvait aussi remarquer que les deux
vecteurs gradients sont colinéaires, donc
les plans tangents sont confondus.
Solution
1) Détermination de S 1 ∩ S 2
Soit M(x,y,z) ∈ E 3 . On a :
M ∈ S 1 ∩ S 2 ⇐⇒
x
2
+ y
2
− z
2
= a
2
(x − 2a)
2
− y
2
+ z
2
= a
2
⇐⇒
x
2
+ y
2
− z
2
= a
2
x
2
+ (x − 2a)
2
= 2a
2
.
Et :
x
2 + (x − 2a)
2 = 2a
2 ⇐⇒ 2x
2 − 4ax + 2a
2 = 0
⇐⇒ 2(x − a)
2 = 0 ⇐⇒ x = a.
Donc :
M ∈ S 1 ∩ S 2 ⇐⇒
x = a
y
2
− z
2
= 0
⇐⇒
x = a
y = z
ou
x = a
y = −z
.
Ainsi, S 1 ∩ S 2 est la réunion de deux droites.
2) Étude des plans tangents en un point de S 1 ∩ S 2
Soit M ∈ S 1 ∩ S 2 . Il existe alors ε ∈ {−1,1} et t ∈ R tels que : M(a, t, εt).
• En notant F : (x,y,z) −→ x
2
+ y
2
− z
2
− a
2
, F est de classe C
1 sur R
3 et, pour
tout (x,y,z) ∈ R
3 :
− − →
grad F(x,y,z) = (2x, 2y, −2z), donc
− − →
grad F(a, t, εt) = (2a, 2t, −2εt).
On en déduit une équation cartésienne du plan tangent P 1 en M à S 1 :
2a(x − a) + 2t (y − t) − 2εt (z − εt) = 0,
ou encore : ax + ty − εtz = a
2
.
• De même, une équation cartésienne du plan tangent P 2 en M à S 2 est :
2(a − 2a)(x − a) − 2t (y − t) + 2εt (z − εt) = 0,
ou encore : −ax − ty + εtz + a
2
= 0.
On constate, d'après leurs équations : P 1 = P 2 .