Chapitre 6 • Géométrie
242
où F,G : V −→ R sont des applications de classe C
1 sur
un ouvert V de R
3 .
Soit A(a,b,c) ∈ Γ . Supposons que la famille
− − →
grad F(A),
− − →
grad G(A)
soit libre. Alors, R et S admettent
en A des plans tangents notés respectivement Π R , Π S , et
on a : Π R = Π S .
Nous allons montrer que Γ admet en A une tangente T, et que :
T = Π R ∩ Π S .
Par hypothèse :
rg
F
x (A) F
y (A) F
z (A)
G
x (A) G
y (A) G
z (A)
= 2 .
Quitte à permuter les rôles de x,y,z, on peut donc supposer
F
y (A) F
z (A)
G
y (A) G
z (A)
= 0. D'après le
théorème des fonctions implicites (cf. § 6.2.1 p. 228), il existe un intervalle ouvert de v de R
centré en a et des intervalles ouverts w 1 ,w 2 de R centrés en b,c respectivement, tels
que :
• v 1 × v 2 × w ⊂ V
• il existe un couple unique d’applications ϕ : v −→ w 1 , ψ : v −→ w 2 tel que :
∀x ∈ v,
F(x,ϕ(x),ψ(x)) = 0
G(x,ϕ(x),ψ(x)) = 0
• ϕ,ψ sont de classe C
1 sur v.
Autrement dit, Γ admet, au voisinage de A, la RP :
x = x,
y = ϕ(x),
z = ψ(x).
Un vecteur tangent
− →
V en A à Γ a donc pour coordonnées (1,ϕ
(a),ψ
(a)) , et est non nul.
Enfin :
− →
V ·
− − →
gradF(A) = F
x (A)+ϕ
(a)F
y (A)+ψ
(a)F
z (A) =
d
dx
F(x,ϕ(x),ψ(x))
(a) = 0,
donc
− →
V ∈
− →
Π R , et de même
− →
V ∈
− →
Π S .
Résumons l'étude.
Théorème 2
Soient R,S deux surfaces, Γ = R ∩ S, A ∈ Γ.
On suppose que A est un point régulier de R et de S, et que les plans tangents Π R ,
Π S en A à R,S sont distincts. Alors A est un point régulier de Γ et la tangente en A
à Γ est Π R ∩ Π S .
Exemple :
Déterminer un vecteur tangent en A(−2,−1,3) à la courbe Γ :
x
3
+ y
3
+ z
3
= 18
xy + yz + zx = −7
.
Remarquer d'abord : A ∈ Γ.
Avec les notations de l'étude précédente :
• F(x,y,z) = x
3
+ y
3
+ z
3
− 18 ,
− − →
gradF(x,y,z) = (3x
2
, 3y
2
, 3z
2
),
− − →
gradF(A) = (12,3,27)
• G(x,y,z) = xy + yz + zx + 7,
− − →
gradG(x,y,z) = (y + z, z + x, x + y) ,
− − →
gradG(A) = (2,1,−3)
•
− − →
gradF(A) ∧
− − →
gradG(A) = (−36,90,6) =
− →
0 .
D'après le théorème précédent, Γ admet une tangente en A, et celle-ci est dirigée par
− − →
grad F(A) ∧
− − →
grad G(A) , donc par : −6
− →
i + 15
− →
j +
− →
k .
Π R
Π S
R
T
A
S
La courbe Γ admet une RP dont le
paramètre est x.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
La tangente en A à une courbe Γ
intersection de deux surfaces R, S est
la droite intersection des deux plans
tangents en A à R et à S.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 6.3.10 à 6.3.16.
242
où F,G : V −→ R sont des applications de classe C
1 sur
un ouvert V de R
3 .
Soit A(a,b,c) ∈ Γ . Supposons que la famille
− − →
grad F(A),
− − →
grad G(A)
soit libre. Alors, R et S admettent
en A des plans tangents notés respectivement Π R , Π S , et
on a : Π R = Π S .
Nous allons montrer que Γ admet en A une tangente T, et que :
T = Π R ∩ Π S .
Par hypothèse :
rg
F
x (A) F
y (A) F
z (A)
G
x (A) G
y (A) G
z (A)
= 2 .
Quitte à permuter les rôles de x,y,z, on peut donc supposer
F
y (A) F
z (A)
G
y (A) G
z (A)
= 0. D'après le
théorème des fonctions implicites (cf. § 6.2.1 p. 228), il existe un intervalle ouvert de v de R
centré en a et des intervalles ouverts w 1 ,w 2 de R centrés en b,c respectivement, tels
que :
• v 1 × v 2 × w ⊂ V
• il existe un couple unique d’applications ϕ : v −→ w 1 , ψ : v −→ w 2 tel que :
∀x ∈ v,
F(x,ϕ(x),ψ(x)) = 0
G(x,ϕ(x),ψ(x)) = 0
• ϕ,ψ sont de classe C
1 sur v.
Autrement dit, Γ admet, au voisinage de A, la RP :
x = x,
y = ϕ(x),
z = ψ(x).
Un vecteur tangent
− →
V en A à Γ a donc pour coordonnées (1,ϕ
(a),ψ
(a)) , et est non nul.
Enfin :
− →
V ·
− − →
gradF(A) = F
x (A)+ϕ
(a)F
y (A)+ψ
(a)F
z (A) =
d
dx
F(x,ϕ(x),ψ(x))
(a) = 0,
donc
− →
V ∈
− →
Π R , et de même
− →
V ∈
− →
Π S .
Résumons l'étude.
Théorème 2
Soient R,S deux surfaces, Γ = R ∩ S, A ∈ Γ.
On suppose que A est un point régulier de R et de S, et que les plans tangents Π R ,
Π S en A à R,S sont distincts. Alors A est un point régulier de Γ et la tangente en A
à Γ est Π R ∩ Π S .
Exemple :
Déterminer un vecteur tangent en A(−2,−1,3) à la courbe Γ :
x
3
+ y
3
+ z
3
= 18
xy + yz + zx = −7
.
Remarquer d'abord : A ∈ Γ.
Avec les notations de l'étude précédente :
• F(x,y,z) = x
3
+ y
3
+ z
3
− 18 ,
− − →
gradF(x,y,z) = (3x
2
, 3y
2
, 3z
2
),
− − →
gradF(A) = (12,3,27)
• G(x,y,z) = xy + yz + zx + 7,
− − →
gradG(x,y,z) = (y + z, z + x, x + y) ,
− − →
gradG(A) = (2,1,−3)
•
− − →
gradF(A) ∧
− − →
gradG(A) = (−36,90,6) =
− →
0 .
D'après le théorème précédent, Γ admet une tangente en A, et celle-ci est dirigée par
− − →
grad F(A) ∧
− − →
grad G(A) , donc par : −6
− →
i + 15
− →
j +
− →
k .
Π R
Π S
R
T
A
S
La courbe Γ admet une RP dont le
paramètre est x.
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La tangente en A à une courbe Γ
intersection de deux surfaces R, S est
la droite intersection des deux plans
tangents en A à R et à S.
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Exercices 6.3.10 à 6.3.16.