6.3 • Surfaces
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d'où :
F
x (A) = 5, F
y (A) = 1, F
z (A) = 1 ,
et donc :
− − →
grad F(A) =
− →
0 .
Ainsi, S admet en A un plan tangent Π, et une EC de Π est :
5(X − 1) + (Y − 1) + (Z + 1) = 0,
ou encore :
5X + Y + Z − 5 = 0.
3) Position d'une surface par rapport à un plan tangent
Considérons une surface S d'EC z = ϕ(x,y), où ϕ : U −→ R est de classe C
1 sur un ouvert U
de R
2 . Nous avons vu en 2) que le théorème des fonctions implicites permet, sous certaines
hypothèses, de se ramener à ce cas.
Soient (a,b) ∈ U , c = ϕ(a,b), A(a,b,c) , Π le plan tangent en A à S ; Π est dirigé par
− →
i + p
− →
k et
− →
j + q
− →
k , où on a noté p = ϕ
x (a,b), q = ϕ
y (a,b) (notations de Monge).
Nous allons étudier la position de S par rapport à Π
au voisinage de A.
À cet effet, pour (x,y) ∈ U, notons h = x − a,
k = y − b , et considérons le point M(x,y,z M ) de S et
le point P(x,y,z P ) de Π.
On a donc : z M = ϕ(x,y) = ϕ(a + h,b + k) ,
et, d'autre part :
h
1 0
k
0 1
z P − c p q
= 0,
d'où : z P = c + ph + qk .
La position relative de S et Π est donnée par le signe de z M − z P .
Supposons que ϕ soit de classe C
2 sur U, et notons (notations de Monge) :
r = ϕ
x 2 (a,b), s = ϕ
xy (a,b), t = ϕ
y 2 (a,b).
On sait (cf. Analyse PC-PSI-PT, 8.3.3 1)) que ϕ admet un développement limité à l'ordre 2 au
voisinage de (a,b), de la forme :
ϕ(a + h,b + k) = ϕ(a,b) + ph + qk +
1
2
(rh
2 + 2shk + tk
2 ) +
o
(h,k)→(0,0)
(h
2 + k
2 ).
On déduit :
z M − z P =
1
2
(rh
2
+ 2shk + tk
2
) + o(h
2
+ k
2
) .
Comme dans l'étude des extremums des fonctions de deux variables réelles, Analyse PC-PSIPT, 8.3.3 2) b), on conclut :
• si
s
2
− rt < 0
r > 0
, alors S est située, au voisinage de A, au-dessus du plan tangent Π à S en A
• si
s
2
− rt < 0
r < 0
, alors S est située, au voisinage de A, au-dessous du plan tangent Π à S
en A
• si s
2
− rt > 0, alors S traverse son plan tangent Π en A.
4) Intersection de deux surfaces
Soit Γ une courbe de l'espace, définie comme intersection de deux surfaces R,S. Supposons que
R et S admettent des EC :
R : F(x,y,z) = 0,
S : G(x,y,z) = 0,
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
P
A
M
c
z
O
a
x
x
y b
y
U
− − →
grad F(A) = (5,1,1) .
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−→
P M = (z M − z P )
− →
k .
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Les points M et P ont la même abscisse
x et ont la même ordonnée y .
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