Chapitre 6 • Géométrie
240
La surface S admet donc, au voisinage de A, la RP φ : v 1 × v 2 −→ E 3
(x,y) −→(x,y,ϕ(x,y))
.
Comme :
φ
x (x,y) = (1,0,ϕ
x (x,y))
et
φ
y (x,y) = (0,1,ϕ
y (x,y)) , il est clair que
(φ
x (a,b),φ
y (a,b)) est libre, et donc S admet en A un plan tangent Π, et Π a pour EC :
P(X,Y,Z ) ∈ Π ⇐⇒
X − a
1
0
Y − b
0
1
Z − c ϕ
x (a,b) ϕ
y (a,b)
= 0
⇐⇒ −ϕ
x (a,b)(X − a) − ϕ
y (a,b)(Y − b) + (Z − c) = 0.
Comme : ∀(x,y) ∈ v 1 × v 2 , F(x,y,ϕ(x,y)) = 0,
on obtient, en dérivant par rapport à x et par rapport à y :
∀(x,y) ∈ v 1 × v 2 ,
F
x (x,y,ϕ(x,y)) + F
z (x,y,ϕ(x,y))ϕ
x (x,y) = 0
F
y (x,y,ϕ(x,y)) + F
z (x,y,ϕ(x,y))ϕ
y (x,y) = 0
.
Puisque F
z (A) = 0 et que (x,y) −→ F
z (x,y,ϕ(x,y)) est continue en A, on a, au voisinage de
(a,b) : F
z (x,y,ϕ(x,y)) = 0.
Quitte à modifier v 1 et v 2 , on peut donc supposer :
∀(x,y) ∈ v 1 × v 2 , F
z (x,y,ϕ(x,y)) = 0.
On obtient :
∀(x,y) ∈ v 1 × v 2 , ϕ
x (x,y) = −
F
x (x,y,ϕ
(x,y))
F
z (x,y,ϕ(x,y))
et ϕ
y (x,y) = −
F
y (x,y,ϕ(x,y))
F
z (x,y,ϕ(x,y))
.
En particulier : ϕ
x (a,b) = −
F
x (A)
F
z (A)
et ϕ
y (a,b) = −
F
y (A)
F
z (A)
, et donc, en reprenant l'EC
de Π obtenue plus haut :
P(X,Y,Z ) ∈ Π ⇐⇒ F
x (A)(X − a) + F
y (A)(Y − b) + F
z (Z − c) = 0.
En permutant les rôles des variables, ce dernier résultat est encore valable dès que F
x (A) = 0
ou F
y (A) = 0.
Rappelons qu'on appelle gradient de F l'application
− − →
gradF : V −→ R 3
M −→(F
x (M),F
y (M),F
z (M))
, et
résumons l'étude.
Théorème 1
Détermination du plan tangent en un point d'une surface
définie par une équation cartésienne
Soient V un ouvert de R 3 , F : V −→ R une application de classe C 1 sur V, S la surface d'EC F(x,y,z) = 0, A(a,b,c) ∈ S .
Si
− − →
gradF(A) =
− →
0 , alors A est un point régulier de S, le plan tangent en A à S est
normal à
− − →
gradF(A) et admet pour EC :
(X − a)F
x (A) + (Y − b)F
y (A) + (Z − c)F
z (A) = 0.
Exemple :
Former une EC du plan tangent en A(1,1,−1) à la surface S d'EC :
x
2 y
3
+ y
2 z
3
+ z
2 x
3
− 1 = 0 .
Notons F : R
3 −→ R
(x,y,z) −→x 2 y 3 +y 2 z 3 +z 2 x 3 −1
. Il est clair que F(1,1,−1) = 0, F est de classe
C
1 sur R
3 et, pour tout (x,y,z) de R
3 :
F
x (x,y,z) = 2xy
3 + 3z
2 x
2 , F
y (x,y,z) = 3x
2 y
2 + 2yz
3 , F
z (x,y,z) = 3y
2 z
2 + 2zx
3 ,
Le théorème des fonctions implicites
permet de passer d’une EC de S à une
RP de S, de paramètre x,y .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Obtention des dérivées partielles de ϕ
en fonction des dérivées partielles de F.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
EC du plan tangent en un point d’une
surface elle-même donnée par une EC.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Méthode pratique pour déterminer le
plan tangent en un point régulier d’une
surface donnée par une EC.
240
La surface S admet donc, au voisinage de A, la RP φ : v 1 × v 2 −→ E 3
(x,y) −→(x,y,ϕ(x,y))
.
Comme :
φ
x (x,y) = (1,0,ϕ
x (x,y))
et
φ
y (x,y) = (0,1,ϕ
y (x,y)) , il est clair que
(φ
x (a,b),φ
y (a,b)) est libre, et donc S admet en A un plan tangent Π, et Π a pour EC :
P(X,Y,Z ) ∈ Π ⇐⇒
X − a
1
0
Y − b
0
1
Z − c ϕ
x (a,b) ϕ
y (a,b)
= 0
⇐⇒ −ϕ
x (a,b)(X − a) − ϕ
y (a,b)(Y − b) + (Z − c) = 0.
Comme : ∀(x,y) ∈ v 1 × v 2 , F(x,y,ϕ(x,y)) = 0,
on obtient, en dérivant par rapport à x et par rapport à y :
∀(x,y) ∈ v 1 × v 2 ,
F
x (x,y,ϕ(x,y)) + F
z (x,y,ϕ(x,y))ϕ
x (x,y) = 0
F
y (x,y,ϕ(x,y)) + F
z (x,y,ϕ(x,y))ϕ
y (x,y) = 0
.
Puisque F
z (A) = 0 et que (x,y) −→ F
z (x,y,ϕ(x,y)) est continue en A, on a, au voisinage de
(a,b) : F
z (x,y,ϕ(x,y)) = 0.
Quitte à modifier v 1 et v 2 , on peut donc supposer :
∀(x,y) ∈ v 1 × v 2 , F
z (x,y,ϕ(x,y)) = 0.
On obtient :
∀(x,y) ∈ v 1 × v 2 , ϕ
x (x,y) = −
F
x (x,y,ϕ
(x,y))
F
z (x,y,ϕ(x,y))
et ϕ
y (x,y) = −
F
y (x,y,ϕ(x,y))
F
z (x,y,ϕ(x,y))
.
En particulier : ϕ
x (a,b) = −
F
x (A)
F
z (A)
et ϕ
y (a,b) = −
F
y (A)
F
z (A)
, et donc, en reprenant l'EC
de Π obtenue plus haut :
P(X,Y,Z ) ∈ Π ⇐⇒ F
x (A)(X − a) + F
y (A)(Y − b) + F
z (Z − c) = 0.
En permutant les rôles des variables, ce dernier résultat est encore valable dès que F
x (A) = 0
ou F
y (A) = 0.
Rappelons qu'on appelle gradient de F l'application
− − →
gradF : V −→ R 3
M −→(F
x (M),F
y (M),F
z (M))
, et
résumons l'étude.
Théorème 1
Détermination du plan tangent en un point d'une surface
définie par une équation cartésienne
Soient V un ouvert de R 3 , F : V −→ R une application de classe C 1 sur V, S la surface d'EC F(x,y,z) = 0, A(a,b,c) ∈ S .
Si
− − →
gradF(A) =
− →
0 , alors A est un point régulier de S, le plan tangent en A à S est
normal à
− − →
gradF(A) et admet pour EC :
(X − a)F
x (A) + (Y − b)F
y (A) + (Z − c)F
z (A) = 0.
Exemple :
Former une EC du plan tangent en A(1,1,−1) à la surface S d'EC :
x
2 y
3
+ y
2 z
3
+ z
2 x
3
− 1 = 0 .
Notons F : R
3 −→ R
(x,y,z) −→x 2 y 3 +y 2 z 3 +z 2 x 3 −1
. Il est clair que F(1,1,−1) = 0, F est de classe
C
1 sur R
3 et, pour tout (x,y,z) de R
3 :
F
x (x,y,z) = 2xy
3 + 3z
2 x
2 , F
y (x,y,z) = 3x
2 y
2 + 2yz
3 , F
z (x,y,z) = 3y
2 z
2 + 2zx
3 ,
Le théorème des fonctions implicites
permet de passer d’une EC de S à une
RP de S, de paramètre x,y .
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Obtention des dérivées partielles de ϕ
en fonction des dérivées partielles de F.
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surface elle-même donnée par une EC.
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Méthode pratique pour déterminer le
plan tangent en un point régulier d’une
surface donnée par une EC.