6.3 • Surfaces
239
Remarque : On peut montrer que le plan tangent en un point régulier de S est inchangé lors
d'un changement de paramétrage admissible.
Exemple :
Montrer que le point A de paramètres (u = 1,v = 1) de la surface S de RP
x = u + v
2
y = u
2
+ v
z = uv
est un point régulier de S, et former une EC du plan tangent Π en A à S.
L'application φ : R
2 −→ E 2
(u,v) −→(u+v 2 ,u 2 +v,uv)
est de classe C
1 , et, pour tout (u,v) de R
2 :
− →
∂φ
∂u
(u,v) = (1,2u,v),
− →
∂φ
∂v
(u,v) = (2v,1,u).
En particulier :
− →
∂φ
∂u
(1,1) = (1,2,1) ,
− →
∂φ
∂v
(1,1) = (2,1,1) ,
− →
∂φ
∂u
(u,v),
− →
∂φ
∂v
(u,v)
est libre,
et donc A est un point régulier de S.
Une EC de Π est :
M(X,Y,Z ) ∈ Π ⇐⇒
X − 2 1 2
Y − 2 2 1
Z − 1 1 1
= 0 ⇐⇒ X + Y − 3Z − 1 = 0.
Définition 3
Avec les notations et hypothèses de la Proposition précédente, on appelle :
• (droite) normale en M à S, la droite orthogonale en M au plan tangent en M
à S
• (droite) tangente en M à S, toute droite passant par M et incluse dans le plan tangent en M à S.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
M
S
S
Méthode pratique pour déterminer le
plan tangent en un point régulier d’une
surface donnée par une RP.
Les vecteurs (1,2,1) et (2,1,1) ne
sont pas colinéaires.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Ainsi, S admet en M :
• une normale et une seule
• une infinité de tangentes (dont la
réunion est le plan tangent en M à S).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
2) Plan tangent en un point d'une surface définie par une équation cartésienne
Soient V un ouvert de R
3 , F : V −→ R de classe C
1 sur V, S la surface d'EC F(x,y,z) = 0 ,
A(a,b,c) ∈ S.
Supposons d'abord : F
z (A) = 0 .
D'après le théorème des fonctions implicites (cf. 6.3.1 p. 236), il existe deux intervalles ouverts
v 1 ,v 2 de R centrés en a,b respectivement, et un intervalle ouvert w de R centré en c tels que :
• v 1 × v 2 × w ⊂ V
• il existe une application unique ϕ : v 1 × v 2 −→ w telle que :
∀(x,y) ∈ v 1 × v 2 , F
x,y,ϕ(x,y)
= 0
• ϕ est de classe C
1 sur v 1 × v 2 .
239
Remarque : On peut montrer que le plan tangent en un point régulier de S est inchangé lors
d'un changement de paramétrage admissible.
Exemple :
Montrer que le point A de paramètres (u = 1,v = 1) de la surface S de RP
x = u + v
2
y = u
2
+ v
z = uv
est un point régulier de S, et former une EC du plan tangent Π en A à S.
L'application φ : R
2 −→ E 2
(u,v) −→(u+v 2 ,u 2 +v,uv)
est de classe C
1 , et, pour tout (u,v) de R
2 :
− →
∂φ
∂u
(u,v) = (1,2u,v),
− →
∂φ
∂v
(u,v) = (2v,1,u).
En particulier :
− →
∂φ
∂u
(1,1) = (1,2,1) ,
− →
∂φ
∂v
(1,1) = (2,1,1) ,
− →
∂φ
∂u
(u,v),
− →
∂φ
∂v
(u,v)
est libre,
et donc A est un point régulier de S.
Une EC de Π est :
M(X,Y,Z ) ∈ Π ⇐⇒
X − 2 1 2
Y − 2 2 1
Z − 1 1 1
= 0 ⇐⇒ X + Y − 3Z − 1 = 0.
Définition 3
Avec les notations et hypothèses de la Proposition précédente, on appelle :
• (droite) normale en M à S, la droite orthogonale en M au plan tangent en M
à S
• (droite) tangente en M à S, toute droite passant par M et incluse dans le plan tangent en M à S.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
M
S
S
Méthode pratique pour déterminer le
plan tangent en un point régulier d’une
surface donnée par une RP.
Les vecteurs (1,2,1) et (2,1,1) ne
sont pas colinéaires.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Ainsi, S admet en M :
• une normale et une seule
• une infinité de tangentes (dont la
réunion est le plan tangent en M à S).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
2) Plan tangent en un point d'une surface définie par une équation cartésienne
Soient V un ouvert de R
3 , F : V −→ R de classe C
1 sur V, S la surface d'EC F(x,y,z) = 0 ,
A(a,b,c) ∈ S.
Supposons d'abord : F
z (A) = 0 .
D'après le théorème des fonctions implicites (cf. 6.3.1 p. 236), il existe deux intervalles ouverts
v 1 ,v 2 de R centrés en a,b respectivement, et un intervalle ouvert w de R centré en c tels que :
• v 1 × v 2 × w ⊂ V
• il existe une application unique ϕ : v 1 × v 2 −→ w telle que :
∀(x,y) ∈ v 1 × v 2 , F
x,y,ϕ(x,y)
= 0
• ϕ est de classe C
1 sur v 1 × v 2 .