Chapitre 6 • Géométrie
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6.3.2 Plan tangent en un point
1) Plan tangent en un point d'une surface définie par une représentation
paramétrique
Définition 1
Soient φ :
U −→ E 3
(u,v) −→M(u,v)=φ(u,v)
une nappe paramétrée de classe C 1 , S = φ(U ),
M(u,v) un point de S.
On dit que M(u,v) est un point régulier de φ (ou : de S) si et seulement si la famille
− →
∂φ
∂u
(u,v),
− →
∂φ
∂v
(u,v)
est libre.
On dit que φ est une nappe paramétrée régulière (ou que S est une surface régulière) si et seulement si, pour tout (u,v) de U , M(u,v) est un point régulier de S.
Remarque : En définissant une notion de changement de paramétrage admissible (utilisant
la notion de C k -difféomorphisme d'un ouvert de R
2 sur l'ouvert U de R
2 ), on peut montrer
que la notion de point régulier est invariante par changement de paramétrage admissible, ce
qui justifie la définition de point régulier de S, au lieu de φ.
Définition 2
Soient φ :
U −→ E 3
(u,v) −→M(u,v)=φ(u,v)
une nappe paramétrée de classe C 1 , S = φ(U ),
M(u,v) un point régulier de S. On appelle plan tangent en M(u,v) à S le plan passant par M(u,v) et dirigé par
− →
∂φ
∂u
(u,v),
− →
∂φ
∂v
(u,v)
.
Conseils
On verra plus loin, cf. § 6.3.3 3), que, d'après
son équation, S est un hyperboloïde.
Solution
Si z − h = 0 et b = 0, alors y − mx = 0, z + h = 0, on exprime c
de (2) et on
reporte dans (3).
Finalement, une équation cartésienne de S est :
S | (1 − m
2 )(z − h)(z + h) + (y − mx)(y + mx) = 0
ou encore :
S | − m
2 x
2 + y
2 + (1 − m
2 )z
2 = (1 − m
2 )h
2 .
Comme m
2
= 1, on peut écrire cette équation sous la forme :
S | −
x
2
h
2
m 2 (1 − m 2 )
+
y
2
h
2
1 − m 2
+
z
2
h 2 = 1.
M
S