6.3 • Surfaces
237
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice-type résolu
Exemple de détermination d'une équation cartésienne de surface définie géométriquement
On munit E 3 d'un repère orthonormé R = (O;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ). Soient m ∈ R − {−1,0,1}, h ∈ R
∗
, D,D
les droites :
D
y = mx
z = h
D
y = −mx
z = −h.
Former une équation cartésienne de la surface S réunion des droites d'intersection de deux plans P,P
contenant respectivement
D,D
et orthogonaux entre eux.
Conseils
Partir des coordonnées (x,y,z) d'un
point M de l'espace et traduire M ∈ S.
Ici, (x,y,z) désignent les coordonnées d'un
point quelconque de E 3 .
On remplace (m,h) par (−m,−h) dans
le résultat précédent.
Deux plans sont orthogonaux si et
seulement si un vecteur normal à l'un est
orthogonal à un vecteur normal à l'autre.
Pour obtenir une équation cartésienne
de S, on va éliminer b,b ,c,c .
Solution
Soit M(x,y,z) ∈ E 3 .
Le point M est sur S si et seulement s'il existe deux plans P,P
tels que :
M ∈ P ∩ P
,
D ⊂ P,
D
⊂ P
,
P ⊥ P
.
Formons l'équation générale d'un plan P contenant D.
Soit P | ax + by + cz + d = 0 un plan quelconque de E 3 , (a,b,c,d) ∈ R
4
,
(a,b,c) = (0,0,0). On a :
D ⊂ P ⇐⇒ ∀ x ∈ R, ax + bmx + ch + d = 0
⇐⇒ ∀ x ∈ R, (a + bm)x + (ch + d) = 0
⇐⇒
a + bm = 0
ch + d = 0
⇐⇒
a = −bm
d = −ch.
Ainsi, l'équation générale d'un plan P contenant D est :
P | − bmx + by + cz − ch = 0, (b,c) ∈ R
2 − {(0,0)}.
De même, l'équation générale d'un plan P
contenant D
est :
P
| b
mx + b
y + c
z + c
h = 0, (b
,c
) ∈ R
2 − {(0,0)}.
Ensuite :
P ⊥ P
⇐⇒
−bm
b
c
·
b
m
b
c
= 0 ⇐⇒ − bb
m
2 + bb
+ cc
= 0.
Ainsi :
M(x,y,z) ∈ S
⇐⇒ ∃ (b,b
), (c,c
) ∈ R
2 − {(0,0)},
−bmx + by + cz − ch = 0
b
mx + b
y + c
z + c
h = 0
(1 − m
2
)bb
+ cc
= 0
⇐⇒ ∃ (b,b
), (c,c
) ∈ R
2 − {(0,0)},
(y − mx)b + (z − h)c = 0
(1)
(y + mx)b
+ (z + h)c
= 0
(2)
(1 − m
2
)bb
+ cc
= 0
(3).
Si z − h = 0 et z + h = 0, on exprime c et c
des équations (1) et (2), on reporte
dans (3), et on simplifie par bb
car, si, par exemple, b = 0, alors, d'après (1),
c = 0, exclu.
On, obtient l'équation :
(1 − m
2 ) +
−
y − mx
z − h
−
y + mx
z + h
= 0.
Si z − h = 0 et b = 0, alors c = 0, donc, d'après (3), c
= 0, puis b
= 0, donc,
d'après (2), y + mx = 0.
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice-type résolu
Exemple de détermination d'une équation cartésienne de surface définie géométriquement
On munit E 3 d'un repère orthonormé R = (O;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ). Soient m ∈ R − {−1,0,1}, h ∈ R
∗
, D,D
les droites :
D
y = mx
z = h
D
y = −mx
z = −h.
Former une équation cartésienne de la surface S réunion des droites d'intersection de deux plans P,P
contenant respectivement
D,D
et orthogonaux entre eux.
Conseils
Partir des coordonnées (x,y,z) d'un
point M de l'espace et traduire M ∈ S.
Ici, (x,y,z) désignent les coordonnées d'un
point quelconque de E 3 .
On remplace (m,h) par (−m,−h) dans
le résultat précédent.
Deux plans sont orthogonaux si et
seulement si un vecteur normal à l'un est
orthogonal à un vecteur normal à l'autre.
Pour obtenir une équation cartésienne
de S, on va éliminer b,b ,c,c .
Solution
Soit M(x,y,z) ∈ E 3 .
Le point M est sur S si et seulement s'il existe deux plans P,P
tels que :
M ∈ P ∩ P
,
D ⊂ P,
D
⊂ P
,
P ⊥ P
.
Formons l'équation générale d'un plan P contenant D.
Soit P | ax + by + cz + d = 0 un plan quelconque de E 3 , (a,b,c,d) ∈ R
4
,
(a,b,c) = (0,0,0). On a :
D ⊂ P ⇐⇒ ∀ x ∈ R, ax + bmx + ch + d = 0
⇐⇒ ∀ x ∈ R, (a + bm)x + (ch + d) = 0
⇐⇒
a + bm = 0
ch + d = 0
⇐⇒
a = −bm
d = −ch.
Ainsi, l'équation générale d'un plan P contenant D est :
P | − bmx + by + cz − ch = 0, (b,c) ∈ R
2 − {(0,0)}.
De même, l'équation générale d'un plan P
contenant D
est :
P
| b
mx + b
y + c
z + c
h = 0, (b
,c
) ∈ R
2 − {(0,0)}.
Ensuite :
P ⊥ P
⇐⇒
−bm
b
c
·
b
m
b
c
= 0 ⇐⇒ − bb
m
2 + bb
+ cc
= 0.
Ainsi :
M(x,y,z) ∈ S
⇐⇒ ∃ (b,b
), (c,c
) ∈ R
2 − {(0,0)},
−bmx + by + cz − ch = 0
b
mx + b
y + c
z + c
h = 0
(1 − m
2
)bb
+ cc
= 0
⇐⇒ ∃ (b,b
), (c,c
) ∈ R
2 − {(0,0)},
(y − mx)b + (z − h)c = 0
(1)
(y + mx)b
+ (z + h)c
= 0
(2)
(1 − m
2
)bb
+ cc
= 0
(3).
Si z − h = 0 et z + h = 0, on exprime c et c
des équations (1) et (2), on reporte
dans (3), et on simplifie par bb
car, si, par exemple, b = 0, alors, d'après (1),
c = 0, exclu.
On, obtient l'équation :
(1 − m
2 ) +
−
y − mx
z − h
−
y + mx
z + h
= 0.
Si z − h = 0 et b = 0, alors c = 0, donc, d'après (3), c
= 0, puis b
= 0, donc,
d'après (2), y + mx = 0.