Chapitre 6 • Géométrie
236
2) Former une EC de la surface de RP :
x = u + v
y = u
2
+ v
2
z = u
3
+ v
3
, (u,v) ∈ R
2 .
On a :
x = u + v
y = u
2
+ v
2
= (u + v)
2
− 2uv
z = u
3
+ v
3
= (u + v)
3
− 3(u + v)uv
⇐⇒
x = u + v
y = x
2
− 2uv
z = x
3
− 3xuv
⇐⇒
u + v = x
uv =
x
2
− y
2
z = x
3
−
3x(x
2
− y)
2
.
Puisque u,v sont ici déterminés par leur somme σ et leur produit π, donc sont les zéros du
polynôme X
2
− σ X + π, on a :
∃(u,v) ∈ R
2 ,
u + v = x
uv =
x
2
− y
2
⇐⇒ x
2 − 4
x
2
− y
2
0 ⇐⇒ 2y − x
2 0.
Ainsi, une EC de S est :
x
3
− 3xy + 2z = 0
y
x
2
2
.
Autrement dit, S est la surface d'EC x
3
− 3xy + 2z = 0, « limitée » par la condition
y
x
2
2
.
Réciproquement, la recherche d'une RP d'une surface d'EC F(x,y,z) = 0 est souvent délicate.
On admet le théorème suivant, appelé théorème des fonctions implicites.
Théorème
Soient V un ouvert de R 3 , A = (a,b,c) ∈ V , F : V −→ R une application.
On suppose :
• F(A) = 0
• F est de classe C 1 sur V
• F
z (A) = 0.
Alors il existe des intervalles ouverts v 1 ,v 2 de R centrés respectivement en a,b et un
intervalle ouvert w de R centré en c tels que :
• v 1 × v 2 × w ⊂ V
• il existe une application unique ϕ : v 1 × v 2 −→ w telle que :
∀(x,y) ∈ v 1 × v 2 , F
x,y,ϕ(x,y)
= 0
• ϕ est de classe C 1 sur v 1 × v 2 .
De plus, si F est de classe C k (k 1) sur V, alors ϕ est de classe C k sur v 1 × v 2 .
Remarques :
1) L'intersection de deux surfaces est « en général » une courbe. Par exemple, l'intersection
d'une sphère de centre O et de rayon R (> 0) et d'un plan (situé à une distance < R de O )
est un cercle.
2) Toute courbe peut être considérée (d'une infinité de façons) comme intersection de deux
surfaces. Par exemple, la courbe Γ de RP (x = t
3 , y = t
4 , z = t
5 , t ∈ R ) est l'intersection des
deux surfaces d'EC : y
3
= x
4 , y
5
= z
4 .
Étude de la réalité de u,v ; a priori,u,v,
solutions d’une équation du second
degré, pourraient être complexes non
réels.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Un SEC d’une courbe Γ revient à la
donnée de deux surfaces dont
l’intersection est Γ.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 6.3.1 à 6.3.9.
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2) Former une EC de la surface de RP :
x = u + v
y = u
2
+ v
2
z = u
3
+ v
3
, (u,v) ∈ R
2 .
On a :
x = u + v
y = u
2
+ v
2
= (u + v)
2
− 2uv
z = u
3
+ v
3
= (u + v)
3
− 3(u + v)uv
⇐⇒
x = u + v
y = x
2
− 2uv
z = x
3
− 3xuv
⇐⇒
u + v = x
uv =
x
2
− y
2
z = x
3
−
3x(x
2
− y)
2
.
Puisque u,v sont ici déterminés par leur somme σ et leur produit π, donc sont les zéros du
polynôme X
2
− σ X + π, on a :
∃(u,v) ∈ R
2 ,
u + v = x
uv =
x
2
− y
2
⇐⇒ x
2 − 4
x
2
− y
2
0 ⇐⇒ 2y − x
2 0.
Ainsi, une EC de S est :
x
3
− 3xy + 2z = 0
y
x
2
2
.
Autrement dit, S est la surface d'EC x
3
− 3xy + 2z = 0, « limitée » par la condition
y
x
2
2
.
Réciproquement, la recherche d'une RP d'une surface d'EC F(x,y,z) = 0 est souvent délicate.
On admet le théorème suivant, appelé théorème des fonctions implicites.
Théorème
Soient V un ouvert de R 3 , A = (a,b,c) ∈ V , F : V −→ R une application.
On suppose :
• F(A) = 0
• F est de classe C 1 sur V
• F
z (A) = 0.
Alors il existe des intervalles ouverts v 1 ,v 2 de R centrés respectivement en a,b et un
intervalle ouvert w de R centré en c tels que :
• v 1 × v 2 × w ⊂ V
• il existe une application unique ϕ : v 1 × v 2 −→ w telle que :
∀(x,y) ∈ v 1 × v 2 , F
x,y,ϕ(x,y)
= 0
• ϕ est de classe C 1 sur v 1 × v 2 .
De plus, si F est de classe C k (k 1) sur V, alors ϕ est de classe C k sur v 1 × v 2 .
Remarques :
1) L'intersection de deux surfaces est « en général » une courbe. Par exemple, l'intersection
d'une sphère de centre O et de rayon R (> 0) et d'un plan (situé à une distance < R de O )
est un cercle.
2) Toute courbe peut être considérée (d'une infinité de façons) comme intersection de deux
surfaces. Par exemple, la courbe Γ de RP (x = t
3 , y = t
4 , z = t
5 , t ∈ R ) est l'intersection des
deux surfaces d'EC : y
3
= x
4 , y
5
= z
4 .
Étude de la réalité de u,v ; a priori,u,v,
solutions d’une équation du second
degré, pourraient être complexes non
réels.
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Un SEC d’une courbe Γ revient à la
donnée de deux surfaces dont
l’intersection est Γ.
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Exercices 6.3.1 à 6.3.9.