6.3 • Surfaces
235
6.3 Surfaces
U désigne un ouvert de R
2 , et k désigne un entier 1 ou = +∞.
6.3.1 Généralités
Définition
On appelle nappe paramétrée (de classe C k ) toute application φ : U −→ E 3 de
classe C k sur U .
Si φ : U −→ E 3 est une nappe paramétrée, on appelle image de φ la partie φ(U ) de
E 3 . On dit aussi que φ(U ) est une surface admettant φ pour représentation paramétrique (en abrégé : RP).
Soit S une surface admettant φ : U −→ E 3 comme représentation paramétrique (de
classe C k ),
x(u,v),y(u,v),z(u,v)
les coordonnées de φ(u,v) dans R. On obtient
une équation cartésienne (en abrégé : EC) de S en éliminant (u,v) dans le système
d'égalités
x = x(u,v)
y = y(u,v)
z = z(u,v)
.
Exemples :
1) Former une EC de la surface de RP
x = u cos v
y = u sin v
z = u
4
, (u,v) ∈ R
2 .
En éliminant (u,v), on obtient une EC : (x
2
+ y
2
)
2
− z = 0.
6.2.5 Soit Γ : x = t
4 , y = t
3
+ t, z = t
2 .
a) CNS sur les fonctions symétriques élémentaires de
t 1 ,t 2 ,t 3 ,t 4 pour que les quatre points de Γ de paramètres t i
(1 i 4) soient coplanaires.
b) α) En déduire les plans bitangents à Γ.
β) Montrer que ces plans bitangents passant par un point
fixe ou sont parallèles à y y .
γ ) Former une équation cartésienne de la surface réunion
des cordes joignant les deux points de contact des plans
bitangents à Γ.
6.2.6 Calculer la longueur L de l'arc paramétré :
x =
cos at
ch t
, y =
sin at
ch t
, z = th t , t ∈ R , a ∈ R ∗
+ fixé.
(On fera intervenir une intégrale de fonction intégrable
sur R ).
6.2.7 Soient Γ un arc paramétré de classe C
1 , L sa longueur, l 1 ,l 2 ,l 3 les longueurs des projections orthogonales
de Γ sur les trois plans de coordonnées.
Montrer : 2L l 1 + l 2 + l 3 L
√
6 .
z
y
x
l 1
l 3
l 2
O
L
Une surface peut donc être définie par
une RP (avec deux paramètres) ou par
une EC.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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6.3 Surfaces
U désigne un ouvert de R
2 , et k désigne un entier 1 ou = +∞.
6.3.1 Généralités
Définition
On appelle nappe paramétrée (de classe C k ) toute application φ : U −→ E 3 de
classe C k sur U .
Si φ : U −→ E 3 est une nappe paramétrée, on appelle image de φ la partie φ(U ) de
E 3 . On dit aussi que φ(U ) est une surface admettant φ pour représentation paramétrique (en abrégé : RP).
Soit S une surface admettant φ : U −→ E 3 comme représentation paramétrique (de
classe C k ),
x(u,v),y(u,v),z(u,v)
les coordonnées de φ(u,v) dans R. On obtient
une équation cartésienne (en abrégé : EC) de S en éliminant (u,v) dans le système
d'égalités
x = x(u,v)
y = y(u,v)
z = z(u,v)
.
Exemples :
1) Former une EC de la surface de RP
x = u cos v
y = u sin v
z = u
4
, (u,v) ∈ R
2 .
En éliminant (u,v), on obtient une EC : (x
2
+ y
2
)
2
− z = 0.
6.2.5 Soit Γ : x = t
4 , y = t
3
+ t, z = t
2 .
a) CNS sur les fonctions symétriques élémentaires de
t 1 ,t 2 ,t 3 ,t 4 pour que les quatre points de Γ de paramètres t i
(1 i 4) soient coplanaires.
b) α) En déduire les plans bitangents à Γ.
β) Montrer que ces plans bitangents passant par un point
fixe ou sont parallèles à y y .
γ ) Former une équation cartésienne de la surface réunion
des cordes joignant les deux points de contact des plans
bitangents à Γ.
6.2.6 Calculer la longueur L de l'arc paramétré :
x =
cos at
ch t
, y =
sin at
ch t
, z = th t , t ∈ R , a ∈ R ∗
+ fixé.
(On fera intervenir une intégrale de fonction intégrable
sur R ).
6.2.7 Soient Γ un arc paramétré de classe C
1 , L sa longueur, l 1 ,l 2 ,l 3 les longueurs des projections orthogonales
de Γ sur les trois plans de coordonnées.
Montrer : 2L l 1 + l 2 + l 3 L
√
6 .
z
y
x
l 1
l 3
l 2
O
L
Une surface peut donc être définie par
une RP (avec deux paramètres) ou par
une EC.
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Géométrie
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Gé
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