Chapitre 6 • Géométrie
234
Conseils
Solution
Comme l'application t ∈ ]0 ; +∞[ −→
t
2
2
+
1
2t 2 ne s'annule pas, il en résulte
que f
ne s'annule pas. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, puisque f
est continue sur l'intervalle ]0 ; +∞[ et ne s'annule en aucun point, f
est de signe
strict fixe sur ]0 ; +∞[. Ainsi :
(1) ⇐⇒ ∃ ε ∈ {−1,1}, ∀ t ∈ ]0 ; +∞[, f
(t) = ε
t
2
2
+
1
2t 2
.
puis, en primitivant, on conclut que l'ensemble des applications f convenant est :
f : ]0 ; +∞[ −→ R, t −→ ε
t
3
6
−
1
2t
+ C; (ε,C) ∈ {−1,1} × R
.
Les méthodes à retenir
Courbes de l’espace
• Pour montrer qu’une courbe de l’espace, donnée par une représentation paramétrique x = x(t), y = y(t),
z = z(t), t ∈ I, est plane (ex. 6.2.1), déterminer (a,b,c,d) ∈ R 4 tel que (a,b,c) = (0,0,0) et que :
∀t ∈ I , ax(t) + by(t) + cz(t) + d = 0.
On peut aussi, dans certains exemples (ex. 6.2.2), trouver un point A et une famille libre formée de deux vecteurs
fixes − → u , − → v tels que, pour tout t ∈ I,
−−−→
AM(t) se décompose sur − → u , − → v :
−−−→
AM(t) = X (t) − → u + Y (t) − → v ,
ce qui montre que la courbe est incluse dans le plan passant par A et dirigé par − → u , − → v , et permet éventuellement
de reconnaître la courbe.
• Pour résoudre des questions portant sur la coplanéité de points d’une courbe unicursale, c’est-à-dire admettant une représentation paramétrique rationnelle (ex. 6.2.5), on fera intervenir les fonctions symétriques des
racines d’une équation algébrique.
• Pour calculer une abscisse curviligne sur Γ ou la longueur de Γ (ex. 6.2.6, 6.2.7), utiliser la formule :
s = (x 2 + y 2 + z 2 )
1
2 .
6.2.1 Soient P,Q,R ∈ R 2 [X]. Montrer que la courbe Γ de
RP :
x =
P(t)
1 + t 2 , y =
Q(t)
1 + t 2 , z =
R(t)
1 + t 2 , t ∈ R ,
est plane.
6.2.2 Soient a,b,c ∈ R. Montrer que la courbe Γ de RP :
x = ch(t + a), y = ch(t + b) , z = ch(t + c), t ∈ R , est
plane et reconnaître Γ.
6.2.3 Reconnaître la courbe Γ :
x
2
+ xy + y
2
−
z
4
= 0
x
2
+ xy + z
2
−
y
4
= 0
.
6.2.4 Soient D la droite x = y = z, Γ la courbe représentée paramétriquement par (x = t, y = t
2 , z = t
3 ).
Former une équation cartésienne de la surface réunion des
droites ∆ ne passant pas par O , rencontrant D, et rencontrant Γ en deux points distincts (de Γ).
Exercices
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Conseils
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Comme l'application t ∈ ]0 ; +∞[ −→
t
2
2
+
1
2t 2 ne s'annule pas, il en résulte
que f
ne s'annule pas. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, puisque f
est continue sur l'intervalle ]0 ; +∞[ et ne s'annule en aucun point, f
est de signe
strict fixe sur ]0 ; +∞[. Ainsi :
(1) ⇐⇒ ∃ ε ∈ {−1,1}, ∀ t ∈ ]0 ; +∞[, f
(t) = ε
t
2
2
+
1
2t 2
.
puis, en primitivant, on conclut que l'ensemble des applications f convenant est :
f : ]0 ; +∞[ −→ R, t −→ ε
t
3
6
−
1
2t
+ C; (ε,C) ∈ {−1,1} × R
.
Les méthodes à retenir
Courbes de l’espace
• Pour montrer qu’une courbe de l’espace, donnée par une représentation paramétrique x = x(t), y = y(t),
z = z(t), t ∈ I, est plane (ex. 6.2.1), déterminer (a,b,c,d) ∈ R 4 tel que (a,b,c) = (0,0,0) et que :
∀t ∈ I , ax(t) + by(t) + cz(t) + d = 0.
On peut aussi, dans certains exemples (ex. 6.2.2), trouver un point A et une famille libre formée de deux vecteurs
fixes − → u , − → v tels que, pour tout t ∈ I,
−−−→
AM(t) se décompose sur − → u , − → v :
−−−→
AM(t) = X (t) − → u + Y (t) − → v ,
ce qui montre que la courbe est incluse dans le plan passant par A et dirigé par − → u , − → v , et permet éventuellement
de reconnaître la courbe.
• Pour résoudre des questions portant sur la coplanéité de points d’une courbe unicursale, c’est-à-dire admettant une représentation paramétrique rationnelle (ex. 6.2.5), on fera intervenir les fonctions symétriques des
racines d’une équation algébrique.
• Pour calculer une abscisse curviligne sur Γ ou la longueur de Γ (ex. 6.2.6, 6.2.7), utiliser la formule :
s = (x 2 + y 2 + z 2 )
1
2 .
6.2.1 Soient P,Q,R ∈ R 2 [X]. Montrer que la courbe Γ de
RP :
x =
P(t)
1 + t 2 , y =
Q(t)
1 + t 2 , z =
R(t)
1 + t 2 , t ∈ R ,
est plane.
6.2.2 Soient a,b,c ∈ R. Montrer que la courbe Γ de RP :
x = ch(t + a), y = ch(t + b) , z = ch(t + c), t ∈ R , est
plane et reconnaître Γ.
6.2.3 Reconnaître la courbe Γ :
x
2
+ xy + y
2
−
z
4
= 0
x
2
+ xy + z
2
−
y
4
= 0
.
6.2.4 Soient D la droite x = y = z, Γ la courbe représentée paramétriquement par (x = t, y = t
2 , z = t
3 ).
Former une équation cartésienne de la surface réunion des
droites ∆ ne passant pas par O , rencontrant D, et rencontrant Γ en deux points distincts (de Γ).
Exercices