6.2 • Courbes de l’espace
233
On dit plus simplement que s et −s sont des paramétrages normaux de f.
Remarque : Supposons f régulier, et soit s une abscisse curviligne sur Γ. Alors, en tout point
M(s) de Γ, le vecteur tangent unitaire (orientant)
− − →
T (s) est :
− − →
T (s) =
− →
dM
ds
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercices 6.2.6, 6.2.7.
Exercice-type résolu
Exemple de courbe conditionnée
On munit E 3 d'un repère orthonormé direct R = (O;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ).
Pour f : ]0 ; +∞[ −→ R de classe C
1
, on note C f l'arc paramétré :
x =
t
3
6
+
1
2t
,
y = f (t),
z = t,
t ∈ ]0 ; +∞[.
Déterminer les applications f telles que la tangente en tout point de C f fait un angle de
π
4
avec la droite (y
y).
Conseils
La 3 ème coordonnée de
− →
dM
dt
est égale à 1,
donc
− →
dM
dt
=
− →
0 .
Angles de droites, défini modulo π.
Utilisation de l'expression du produit
scalaire de deux vecteurs non nuls de E 3 :
− → u · − → v = || − → u || || − → v || cos ∠( − → u , − → v ).
Dans l'énoncé, les coefficients ont été
choisis pour obtenir ici un carré parfait.
Sinon, on n'aurait pas pu exprimer f (t) à
l'aide des fonctions usuelles, sans symbole
de primitivation.
Solution
En notant M(t) le point courant de C f , on a :
− →
dM
dt
=
t
2
2
−
1
2t 2
− →
i + f
(t)
− →
j +
− →
k .
Comme, pour tout t ∈ ]0 ; +∞[,
− →
dM
dt
=
− →
0 , la tangente T (t) en M(t) à C f existe
et est dirigée par
− →
dM
dt
.
On a :
∠
(y
y), T (t)
≡ ±
π
4
[π] ⇐⇒ ∠
− →
j ,
− →
dM
dt
≡ ±
π
4
[π]
⇐⇒ cos ∠
− →
j ,
− →
dM
dt
= ±
1
√
2
⇐⇒
− →
j ·
− →
dM
dt
= ±
1
√
2
||
− →
j ||
− →
dM
dt
⇐⇒
− →
j ·
− →
dM
dt
2
=
1
2
||
− →
j ||
2
− →
dM
dt
2
⇐⇒
f
(t)
2 =
1
2
t
2
2
−
1
2t 2
2
+
f
(t)
2 + 1
⇐⇒
f
(t)
2 =
t
2
2
−
1
2t 2
2
+ 1
=
t
4
4
+
1
4t 4 +
1
2
=
t
2
2
+
1
2t 2
2
(1).