Chapitre 6 • Géométrie
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Définition 1
On appelle abscisse curviligne sur Γ toute application s : I −→ R de classe C 1
sur I telle que :
∀t ∈ I, s
(t) = ||
−−→
f
(t)||.
Les remarques de Géométrie PCSI-PTSI, 4.1.1 sont ici aussi valables, en remplaçant E 2 par E 3 .
Avec les notations de la Définition 1, on a :
∀t ∈ I, s
2 (t) = x
2 (t) + y
2 (t) + z
2 (t),
ce qu'on écrit quelquefois abusivement :
(ds)
2 = (dx)
2 + (dy)
2 + (dz)
2 .
Définition 2
Soient s une abscisse curviligne sur Γ, a,b ∈ I, A = f (a), B = f (b). On appelle :
• longueur (algébrique) de l'arc
AB de Γ, et on note ici l(
AB) , le réel s(b) − s(a),
c'est-à-dire :
l(
AB) =
b
a
||
−−→
f
(t)|| dt
• longueur de l'arc
AB de Γ, la valeur absolue de la longueur (algébrique) de
AB
sur Γ.
Remarque :
Il y a « additivité » de la longueur d'arc, comme dans la Prop. 1 du § 4.1.1 de Géométrie PCSIPTSI.
Exemple :
Calculer la longueur L de la courbe de l'espace de RP :
x = cos t , y = sin t, z = − ln cos t, t ∈
0;
π
4
.
On a : x = −sin t, y = cos t, z = tan t,
d'où : s 2 = x 2 + y 2 + z 2 = 1 + tan
2 t =
1
cos 2 t
,
donc : s =
1
cos t
,
puis : L =
π
4
0
s
(t) dt =
[u=sin t]
1
√
2
0
du
1 − u 2 =
1
2
ln
1 + u
1 − u
1
√
2
0
= ln(
√
2 + 1) 0,881 .
Définition 3
On appelle paramétrage normal de f tout paramétrage admissible g : J −→ E 3 de
classe C 1 de f tel que :
∀u ∈ J, ||
−−→
g
(u)|| = 1.
Proposition
Si f est régulier, alors :
• pour toute abscisse curviligne s sur Γ, f ◦ s −1 est un paramétrage normal de f
• pour tout paramétrage normal g de f, il existe une abscisse curviligne s sur Γ telle
que :
g = f ◦ s
−1 ou g = f ◦ (−s)
−1
.
En général, le contexte précise s’il s’agit
de longueur algébrique ( 0 ou 0 )
ou de longueur ( 0 ).
Rappelons que le paramétrage f est dit
régulier si et seulement si :
∀t ∈ I ,
−−→
f
(t) = 0.