6.2 • Courbes de l’espace
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Définition 5
Soient f : I −→ E 3 un arc paramétré de classe C 1 , Γ sa trajectoire, A(t) un point
régulier de Γ. On appelle vecteur tangent unitaire (orientant) de Γ en A(t) le vecteur, noté
− − →
T (t) (ou :
− →
T ) défini par :
− − →
T (t) =
−−→
f
(t)
||
−−→
f
(t)||
.
Nous terminons ce § en examinant un type particulier de courbes de l'espace, les hélices.
Définition 6
On appelle hélice toute courbe Γ de l'espace, de classe C 1 , régulière, telle qu'il existe un vecteur unitaire fixe
− →
K tel que l'angle
− →
K ,
− − →
T (t)
soit de mesure constante
(modulo 2π).
Exemples :
1) Hélice circulaire à pas constant
Soient r ∈ R ∗
+ , h ∈ R ∗ , Γ la courbe de RP :
x = r cos t
y = r sin t
z = ht
, t ∈ R .
On a, pour tout t de R :



x = −r sin t
y = r cos t
z = h
, d'où :
− →
k ·
− →
T (t)
||
− →
k || · ||
− − →
T (t)||
=
h
√
r 2 + h 2
.
Ainsi, l'angle
− →
k ,
− − →
T (t)
est constant, Γ est une hélice, appelée hélice circulaire à pas constant.
2) De même, la courbe Γ de RP :



x = e −t cos t
y = e −t sin t
z = e −t
,
t ∈ R , est une hélice, tracée sur le cône d'EC :
x
2
+ y
2
− z
2
= 0 .
6.2.3 Abscisse curviligne
f : I −→ E 3 désigne un arc paramétré de classe C
1 , Γ = f (I ) sa trajectoire. Pour t ∈ I, on
pourra noter M(t) au lieu de f (t). Pour t ∈ I, on note (x(t),y(t),z(t)) les coordonnées de M(t)
dans R ; ainsi, pour tout t de I :
− −−− →
O M(t) = x(t)
− →
i + y(t)
− →
j + z(t)
− →
k .
Γ
z
x
y
O
z
y
x
O
Γ
Il est clair que :
||
− − →
T (t)|| = 1.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
cos
− →
k ,
− − →
T (t)
est constant.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercice 6.2.5.
R = (O;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) est un repère
orthonormé fixé de E 3 .