Chapitre 6 • Géométrie
230
Définition 2
On dit qu'un arc paramétré f : I −→ E 3
t −→M(t)= f (t)
de classe C 1 (resp. C 2 ) est régulier
(resp. birégulier) si et seulement si, pour tout t de I , M(t) est un point régulier (resp.
birégulier) pour f.
Les remarques de Géométrie PCSI-PTSI, 3.1.2 1) sont ici aussi valables, en remplaçant E 2
par E 3 .
Définition 3
Soient f : I −→ E 3
t −→M(t)= f (t)
un arc paramétré de classe C 1 , Γ la trajectoire de f, t 0 ∈ I,
A = M(t 0 ), aussi noté A(t 0 ) .
1) On dit que Γ admet une demi-tangente en A(t
+
0 ) (resp. A(t
−
0 )) si et seulement
si le vecteur unitaire
−−−→
AM(t)
||
−−−→
AM(t)||
(s'il existe) admet une limite lorsque t tend vers t
+
0
(resp. t
−
0 ).
Dans ce cas, on appelle demi-tangente en A(t
+
0 ) (resp. A(t
−
0 )) à Γ la demi-droite
d'origine A et dirigée et orientée par cette limite.
2) On dit que Γ admet une tangente en A(t 0 ) si et seulement si Γ admet deux demitangentes égales ou opposées en A(t
+
0 ) et A(t
−
0 ). Dans ce cas, on appelle tangente
en A(t 0 ) à Γ la droite passant par A et portant les deux demi-tangentes.
Remarque : L'existence d'une demi-tangente ou d'une tangente en un point de Γ est invariante par changement de paramétrage.
Théorème
Soient f : I −→ E 3 un arc paramétré de classe C 1 , Γ sa trajectoire. En tout point
régulier A(t) de Γ, Γ admet une tangente, et celle-ci est dirigée par
−−→
f
(t).
Définition 4
Soient f : I −→ E 3 un arc paramétré de classe C 1 , Γ sa trajectoire, A(t) un point
régulier de Γ, T (t) la tangente en A(t) à Γ.
On appelle :
• plan normal en A(t) à Γ le plan passant par A(t) et perpendiculaire à T (t)
• plan tangent en A(t) à Γ tout plan contenant T (t).
Γ
T(t)
A(t)
Γ
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Géométrie
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Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
A
Γ
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
A
Γ
A
Γ
Le vecteur dérivée-première dirige
la tangente.
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
Ainsi,Γ admet en A(t) un plan normal
et un seul, et une infinité de plans
tangents.
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
Tout arc paramétré birégulier est
régulier.
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Définition 2
On dit qu'un arc paramétré f : I −→ E 3
t −→M(t)= f (t)
de classe C 1 (resp. C 2 ) est régulier
(resp. birégulier) si et seulement si, pour tout t de I , M(t) est un point régulier (resp.
birégulier) pour f.
Les remarques de Géométrie PCSI-PTSI, 3.1.2 1) sont ici aussi valables, en remplaçant E 2
par E 3 .
Définition 3
Soient f : I −→ E 3
t −→M(t)= f (t)
un arc paramétré de classe C 1 , Γ la trajectoire de f, t 0 ∈ I,
A = M(t 0 ), aussi noté A(t 0 ) .
1) On dit que Γ admet une demi-tangente en A(t
+
0 ) (resp. A(t
−
0 )) si et seulement
si le vecteur unitaire
−−−→
AM(t)
||
−−−→
AM(t)||
(s'il existe) admet une limite lorsque t tend vers t
+
0
(resp. t
−
0 ).
Dans ce cas, on appelle demi-tangente en A(t
+
0 ) (resp. A(t
−
0 )) à Γ la demi-droite
d'origine A et dirigée et orientée par cette limite.
2) On dit que Γ admet une tangente en A(t 0 ) si et seulement si Γ admet deux demitangentes égales ou opposées en A(t
+
0 ) et A(t
−
0 ). Dans ce cas, on appelle tangente
en A(t 0 ) à Γ la droite passant par A et portant les deux demi-tangentes.
Remarque : L'existence d'une demi-tangente ou d'une tangente en un point de Γ est invariante par changement de paramétrage.
Théorème
Soient f : I −→ E 3 un arc paramétré de classe C 1 , Γ sa trajectoire. En tout point
régulier A(t) de Γ, Γ admet une tangente, et celle-ci est dirigée par
−−→
f
(t).
Définition 4
Soient f : I −→ E 3 un arc paramétré de classe C 1 , Γ sa trajectoire, A(t) un point
régulier de Γ, T (t) la tangente en A(t) à Γ.
On appelle :
• plan normal en A(t) à Γ le plan passant par A(t) et perpendiculaire à T (t)
• plan tangent en A(t) à Γ tout plan contenant T (t).
Γ
T(t)
A(t)
Γ
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A
Γ
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A
Γ
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Γ
Le vecteur dérivée-première dirige
la tangente.
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Ainsi,Γ admet en A(t) un plan normal
et un seul, et une infinité de plans
tangents.
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Tout arc paramétré birégulier est
régulier.
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