6.2 • Courbes de l’espace
229
Donc Γ z est le cercle (dans le plan z = 0) de centre
1
2
,0,0
et de rayon
1
2
.
• La projection Γ y de Γ sur x Oz, parallèlement à y y ,
admet pour RP :



x = cos
2 t
y = 0
z = sin t
. Par élimination de t, on
obtient un SEC :



x = 1 − z
2
y = 0
−1 z 1
.
Ainsi, Γ y est un arc de parabole.
• La projection Γ x de Γ sur yOz, parallèlement à x x,
admet pour RP :



x = 0
y = cos t sin t
z = sin t
, et pour SEC :
x = 0
y
2
= z
2
(1 − z
2
).
.
z
y
x
Γ x
Γ y
Γ
Γ
z
1
z
x
O
Γ y
1
1
Γ x
z
y
O
1
1
2
1
2
6.2.2 Tangente en un point
L'étude est analogue à celle de Géométrie PCSI-PTSI 3.1.2 1).
Définition 1
Soient f : I −→ E 3
t −→M(t)= f (t)
un arc paramétré de classe C 1 , Γ = f (I ) sa trajectoire,
M(t) un point de Γ.
On dit que M(t) est un point régulier de Γ si et seulement si
−−→
f
(t) =
− →
0 .
Si f est de classe C 2 , on dit que M(t) est un point birégulier de Γ si et seulement si
la famille
−−→
f
(t),
−−→
f
(t)
est libre.
Un point non régulier de Γ est aussi dit stationnaire.
Remarque : Les notions de point régulier et de point birégulier sont invariantes par changement de paramétrage (de classe C
1 ou C
2 respectivement).
Projection Γ y de Γ sur x Oz.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Projection Γ x de Γ sur yOz.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Schéma représentant Γ et ses trois
projections Γ z , Γ y ,Γ x sur les plans de
coordonnées.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Tout point birégulier de Γ est régulier.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier