Chapitre 6 • Géométrie
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Exemple :
Un SEC de la courbe Γ de RP (x = t, y = t
2
, z = t
3
) est :
y = x
2
z = x
3
.
On admet le théorème suivant, appelé théorème des fonctions implicites.
Théorème
Soient V un ouvert de R 3 , A = (a,b,c) ∈ V , F,G : V −→ R deux applications.
On suppose :

   
   
• F(A) = G(A) = 0
• F,G sont de classe C 1 sur V
•
F
y (A) F
z (A)
G
y (A) G
z (A)
= 0.
Alors, il existe un intervalle ouvert v de R centré en a et des intervalles ouverts w 1 ,
w 2 de R centrés en b,c respectivement tels que :

      
      
• v × w 1 × w 2 ⊂ V
• il existe un couple unique d’applications ϕ : v −→ w 1 , ψ : v −→ w 2
tel que : ∀x ∈ v,
F
x,ϕ(x),ψ(x)
= 0
G
x,ϕ(x),ψ(x)
= 0
• ϕ et ψ sont de classe C
1 sur v.
De plus, si F,G sont de classe C k (k 1) sur V, alors ϕ,ψ sont de classe C k sur v.
2) Projections d'une courbe de l'espace sur les plans de coordonnées
Soit Γ une courbe de l'espace, de RP :
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
, t ∈ I.
Il est clair que la projection Γ z de Γ sur le plan x Oy
(parallèlement à z z) admet pour RP :
x = x(t)
y = y(t)
z = 0.
Résultats analogues pour les deux autres projections
de Γ.
Exemple :
Déterminer et tracer les projections orthogonales sur les trois plans de coordonnées de
la courbe Γ de RP :



x = cos
2 t
y = cos t sin t
z = sin t
, t ∈ R , appelée
fenêtre de Viviani.
• La projection Γ z de Γ sur x Oy , parallèlement à z z ,
admet pour RP :



x = cos
2 t
y = cos t sin t
z = 0
, ou encore :

   
   
x =
1
2
+
1
2
cos 2t
y =
1
2
sin 2t
z = 0
.

 ∃ t ∈ R,



x = t
y = t 2
z = t 3


⇐⇒
y = x
2
z = x
3
.
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Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
z
z
y
y
x
x
O
m (x, y, 0)
M (x, y, z)
Γ
Γ
z
y
x
O
Γ z
1
Exercices 6.2.1 à 6.2.4.
Projection Γ z de Γ sur x Oy .
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