6.2 • Courbes de l’espace
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6.2 Courbes de l'espace
L'étude se situe dans l'espace affine euclidien de dimension 3, noté E 3 , éventuellement muni d'un
repère orthonormé R = (O;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) ; le produit scalaire est noté (·|·) ou ·, la norme associée est notée || · ||, et la distance de deux points A,B est notée d(A,B) ou ||
− →
AB|| ou AB.
Classiquement, on identifie E 3 à R
3 .
On peut généraliser, avec peu de modifications, l'étude des §§ 6.2.1 et 6.2.2 au cas d'un espace
vectoriel normé de dimension finie, et celle du § 6.2.3 au cas d'un espace euclidien.
I désigne un intervalle de R , non vide ni réduit à un point (l'étude peut s'adapter au cas d'une
réunion de tels intervalles), et k désigne un entier 1 ou = +∞.
6.2.1 Généralités
L'étude est analogue à celle du § 3.1.1 de Géométrie PCSI-PTSI.
1) Arc paramétré
Définition 1
On appelle arc paramétré (de classe C k ) toute application f : I −→ E 3
t −→ f (t)
de classe C k .
Définition 2
Soit f : I −→ E 3 un arc paramétré. On appelle trajectoire de f la partie
f (I ) = { f (t); t ∈ I } de E 3 .
On dit aussi que f (I ) est une courbe (de l'espace) admettant f pour représentation
paramétrique (en abrégé : RP).
Définition 3
Soit f : I −→ E 3 un arc paramétré (de classe C k ).
1) On appelle changement de paramétrage (de classe C k ) de f toute application
ϕ : J −→ I, où J est un intervalle de R, telle que :
ϕ est de classe C k sur J
ϕ est bijective
ϕ −1 est de classe C k sur I .
2) On appelle paramétrage admissible (de classe C k ) de f toute application
g : J −→ E 3 , où J est un intervalle de R, telle qu'il existe un changement de paramétrage (de classe C k ) ϕ de f tel que g = f ◦ ϕ .
Les remarques de Géométrie PCSI-PTSI, 3.1.1 4), sont ici aussi valables, en repc-psilaçant E 2
par E 3 .
Une courbe de l'espace peut aussi être définie par un système d'équations cartésiennes (en abrégé : SEC) :
F(x,y,z) = 0
G(x,y,z) = 0.
En pratique, on passe d'une RP d'une courbe Γ de l'espace à un SEC de Γ en éliminant
le paramètre.
Selon que f (t) est considéré comme un
point ou un vecteur,on peut noter f (t)
ou
− − →
f (t).
Au lieu de courbe de l'espace, on dit
aussi : courbe gauche.
En particulier, f est un paramétrage
admissible (de classe C k ) de f, en
prenant J = I et ϕ = Id I .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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6.2 Courbes de l'espace
L'étude se situe dans l'espace affine euclidien de dimension 3, noté E 3 , éventuellement muni d'un
repère orthonormé R = (O;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ) ; le produit scalaire est noté (·|·) ou ·, la norme associée est notée || · ||, et la distance de deux points A,B est notée d(A,B) ou ||
− →
AB|| ou AB.
Classiquement, on identifie E 3 à R
3 .
On peut généraliser, avec peu de modifications, l'étude des §§ 6.2.1 et 6.2.2 au cas d'un espace
vectoriel normé de dimension finie, et celle du § 6.2.3 au cas d'un espace euclidien.
I désigne un intervalle de R , non vide ni réduit à un point (l'étude peut s'adapter au cas d'une
réunion de tels intervalles), et k désigne un entier 1 ou = +∞.
6.2.1 Généralités
L'étude est analogue à celle du § 3.1.1 de Géométrie PCSI-PTSI.
1) Arc paramétré
Définition 1
On appelle arc paramétré (de classe C k ) toute application f : I −→ E 3
t −→ f (t)
de classe C k .
Définition 2
Soit f : I −→ E 3 un arc paramétré. On appelle trajectoire de f la partie
f (I ) = { f (t); t ∈ I } de E 3 .
On dit aussi que f (I ) est une courbe (de l'espace) admettant f pour représentation
paramétrique (en abrégé : RP).
Définition 3
Soit f : I −→ E 3 un arc paramétré (de classe C k ).
1) On appelle changement de paramétrage (de classe C k ) de f toute application
ϕ : J −→ I, où J est un intervalle de R, telle que :
ϕ est de classe C k sur J
ϕ est bijective
ϕ −1 est de classe C k sur I .
2) On appelle paramétrage admissible (de classe C k ) de f toute application
g : J −→ E 3 , où J est un intervalle de R, telle qu'il existe un changement de paramétrage (de classe C k ) ϕ de f tel que g = f ◦ ϕ .
Les remarques de Géométrie PCSI-PTSI, 3.1.1 4), sont ici aussi valables, en repc-psilaçant E 2
par E 3 .
Une courbe de l'espace peut aussi être définie par un système d'équations cartésiennes (en abrégé : SEC) :
F(x,y,z) = 0
G(x,y,z) = 0.
En pratique, on passe d'une RP d'une courbe Γ de l'espace à un SEC de Γ en éliminant
le paramètre.
Selon que f (t) est considéré comme un
point ou un vecteur,on peut noter f (t)
ou
− − →
f (t).
Au lieu de courbe de l'espace, on dit
aussi : courbe gauche.
En particulier, f est un paramétrage
admissible (de classe C k ) de f, en
prenant J = I et ϕ = Id I .
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Géométrie
Moni er Algèbre Monier
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