Chapitre 6 • Géométrie
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Conseils
Formule du Cours :
− −−− →
O M(s) =
−−−→
OC(s) + (s 0 − s)
− →
T ,
cf. § 6.1.5 Théorème.
La donnée de s 0 détermine une développante de C.
Représentation graphiqueme de la développante Γ 0 de C, correspondant à s 0 = 0 ,
par exemple.
Solution
•
− →
T =
− →
dC
ds
=
dt
ds
− →
dC
dt
=
1
ch t (2t sh t + ch t)
(−2t sh
2 t − sh t ch t)
− →
i + (2t sh t + ch t)
− →
j
=
1
ch t
(−sh t
− →
i +
− →
j )
• On en déduit les coordonnées (X,Y ) du point courant M d'une développante
de C :
X =
t
2
2
− t sh t ch t
+ (s 0 − t ch
2 t)
−sh t
ch t
=
t
2
2
− s 0 th t
Y = (2t ch t − sh t) + (s 0 − t ch
2 t)
1
ch t
= t ch t − sh t + s 0
1
ch t
.
On conclut que les développantes de C sont les courbes Γ de représentations paramétriques, pour s 0 ∈ R :

  
  
X =
t
2
2
− s 0 th t
Y = t ch t − sh t + s 0
1
ch t
t ∈ R.
y
x
O
G 0
C
M
C
Les méthodes à retenir
Développantes d’une courbe plane
• Pour déterminer les développantes d’une courbe du plan C (ex. 6.1.22, 6.1.23), calculer, sur la courbe C, l’abscisse curviligne s et le vecteur tangent unitaire
− − →
T (s) ; les développantes sont les courbes définies par les représentations paramétriques :
− −−− →
O M(s) =
−−−→
OC(s) + (s 0 − s)
− − →
T (s) où s 0 ∈ R est quelconque fixé, et M(s) décrit la
développante correspondant à s 0 .
Il sera nécessaire, en pratique, de procéder à un calcul d’intégrale pour obtenir s à partir de s .
6.1.22 Déterminer les développantes du cercle C d'EC
x
2
+ y
2
= R
2 , R > 0 fixé. Tracer celle passant par le point
A(R,0).
6.1.23 a) Déterminer les développantes de la courbe C
x = 3 sh
2 t
y = 2 sh
3 t.
b) Reconnaître celle qui passe par le point A(−2,0) .
Exercices