Chapitre 6 • Géométrie
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Soit C une courbe de classe C
2 du plan.
Notons s une abscisse curviligne sur C, C(s) le point courant de C,
− →
T (s) =
− →
dC
ds
le vecteur
tangent unitaire orientant en C(s) à C.
1) Soit γ une développante de C (s'il en existe) ; γ admet
une RP s ∈ J −→ M(s) de classe C
2 , et, pour tout s
de J, il existe λ(s) ∈ R tel que :
− −−− →
O M(s) =
−−−→
OC(s) + λ(s)
− →
T (s).
Comme M,C,
− →
T sont de classe C
1 et que
− →
T est unitaire, λ est de classe C
1 sur J. On a, pour tout s de J :
− →
dM
ds
=
− →
dC
ds
+ λ
(s)
− →
T (s) + λ(s)
d
− →
T
ds
=
1 + λ
(s)
− →
T (s) +
λ(s)
R(s)
− →
N (s),
où R(s) désigne le rayon de courbure en C(s) à C, et
− →
N (s) = Rot π
2
− →
T (s)
.
Comme :
∀s ∈ J,
− →
dM
ds
⊥
− →
T (s),
on a :
∀s ∈ J, 1 + λ (s) = 0 ,
et il existe donc s 0 ∈ R tel que : ∀s ∈ J, λ(s) = −s + s 0 .
On obtient :
∀s ∈ J,
− −−− →
O M(s) =
−−−→
OC(s) + (s 0 − s)
− →
T (s) .
2) Réciproquement, soient s 0 ∈ R et γ la courbe de RP :
− −−− →
O M(s) =
−−−→
OC(s) + (s 0 − s)
− →
T (s).
Il est clair que γ est de classe C
1 et que, si C est de classe C
3 , alors γ est de classe C
2 .
On a, pour tout s de J :
− →
dM
ds
=
− →
dC
ds
−
− →
T (s) + (s 0 − s)
d
− →
T
ds
=
s 0 − s
R(s)
− →
N (s),
ce qui montre que la normale en M(s) à γ est dirigée par
− →
T (s).
Ainsi, la normale en M(s) à γ est la tangente en C(s) à C, et C est l'enveloppe des normales à γ.
Finalement, γ est une développante de C.
Résumons l'étude :
Théorème
Soit C une courbe de classe C 3 du plan. On note s une abscisse curviligne sur C,
C(s) le point courant de C,
− →
T (s) =
− →
dC
ds
le vecteur tangent unitaire orientant en
C(s) à C. Alors, les développantes de C sont les courbes définies par les paramétrages :
− −−− →
O M(s) =
−−−→
OC(s) + (s 0 − s)
− →
T (s),
pour s 0 ∈ R quelconque.
Exemple : Développantes de la chaînette
La chaînette est la courbe C d'EC y = a ch
x
a
(a > 0 fixé).
Déterminons ses développantes.
γ
M
C
C
Une courbe donnée admet une
développée et une seule (voir § 4.2.3),et
admet une infinité de développantes.