6.1 • Courbes du plan
223
6.1.5 Développantes d'une courbe du plan
Définition
Soient γ,C deux courbes de classe C 2 du plan.
On dit que γ est une développante de C si et seulement si C est la développée
de γ .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Les méthodes à retenir
Développée d’une courbe plane
• Pour déterminer la développée C d’une courbe Γ définie par une représentation paramétrique (ex. 6.1.19
a) à e), 6.1.20), on calcule successivement x , y , s 2 = x 2 + y 2 , s ( 0),
− →
T =
x
s
− →
i +
y
s
− →
j ,
− →
N = Rot π
2
(
− →
T ) , C tel que
−→
MC = R
− →
N , et on obtient ainsi une représentation paramétrique de C, qui est le lieu
des centres de courbure à Γ.
La développée est aussi l’enveloppe des normales (cf. th. p. 220).
• Pour déterminer la développée C d’une courbe Γ donnée par une équation polaire ρ = ρ(θ)
(ex. 6.1.19 f) à i)), on calcule successivement ρ , s 2 = ρ 2 + ρ 2 , s ( 0),
− →
T =
− →
dM
ds
, ϕ ou ϕ ,
− →
N , C tel que
−→
MC = R
− →
N , et on obtient ainsi une représentation paramétrique de C en fonction de l’angle polaire θ de M (attention : θ n’est pas l’angle polaire de C).
Dans certains cas (ex. 6.1.19 g)), il peut être commode de passer par les nombres complexes.
6.1.19 Déterminer les développées C des courbes Γ suivantes :
a) y = e x
b)
x = a(t − sin t)
y = a(1 − cos t)
, a > 0 (cycloïde)
c)
x
2
a 2 −
y
2
b 2 = 1, a > 0, b > 0 (hyperbole)
d)
x = (1 + cos
2 t)sin t
y = sin
2 t cos t
e)
x = a cos
3 t
y = a sin
3 t
, a > 0 (astroïde)
f) ρ =
√
cos 2θ , (lemniscate)
g)
x = p cos
t
p
− q cos
t
q
y = p sin
t
p
− q sin
t
q
, ( p,q) ∈ R
2 , 2 p < q
h) ρ = a(1 + cos θ), (a > 0) (cardioïde)
i) ρ = ae λθ , (a,λ) ∈ R ∗
+ × R (spirale logarithmique).
6.1.20 Déterminer les développées successives
de C 0 :
x = sin t ch t + cos t sh t
y = sin t sh t − cos t ch t.
6.1.21 Soient Γ une courbe, enveloppe d'une famille
de
droites
(D θ )
d'équations
normales
x cos θ + y sin θ = p(θ), où p : R −→ R est de classe suffisante, C sa développée, M ∈ Γ , C 1 le centre de courbure
en M à Γ, C 2 le centre de courbure en C 1 à C. Déterminer
Γ pour que la droite (MC 2 ) admette une direction fixe.
Exercices
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6.1.5 Développantes d'une courbe du plan
Définition
Soient γ,C deux courbes de classe C 2 du plan.
On dit que γ est une développante de C si et seulement si C est la développée
de γ .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Les méthodes à retenir
Développée d’une courbe plane
• Pour déterminer la développée C d’une courbe Γ définie par une représentation paramétrique (ex. 6.1.19
a) à e), 6.1.20), on calcule successivement x , y , s 2 = x 2 + y 2 , s ( 0),
− →
T =
x
s
− →
i +
y
s
− →
j ,
− →
N = Rot π
2
(
− →
T ) , C tel que
−→
MC = R
− →
N , et on obtient ainsi une représentation paramétrique de C, qui est le lieu
des centres de courbure à Γ.
La développée est aussi l’enveloppe des normales (cf. th. p. 220).
• Pour déterminer la développée C d’une courbe Γ donnée par une équation polaire ρ = ρ(θ)
(ex. 6.1.19 f) à i)), on calcule successivement ρ , s 2 = ρ 2 + ρ 2 , s ( 0),
− →
T =
− →
dM
ds
, ϕ ou ϕ ,
− →
N , C tel que
−→
MC = R
− →
N , et on obtient ainsi une représentation paramétrique de C en fonction de l’angle polaire θ de M (attention : θ n’est pas l’angle polaire de C).
Dans certains cas (ex. 6.1.19 g)), il peut être commode de passer par les nombres complexes.
6.1.19 Déterminer les développées C des courbes Γ suivantes :
a) y = e x
b)
x = a(t − sin t)
y = a(1 − cos t)
, a > 0 (cycloïde)
c)
x
2
a 2 −
y
2
b 2 = 1, a > 0, b > 0 (hyperbole)
d)
x = (1 + cos
2 t)sin t
y = sin
2 t cos t
e)
x = a cos
3 t
y = a sin
3 t
, a > 0 (astroïde)
f) ρ =
√
cos 2θ , (lemniscate)
g)
x = p cos
t
p
− q cos
t
q
y = p sin
t
p
− q sin
t
q
, ( p,q) ∈ R
2 , 2 p < q
h) ρ = a(1 + cos θ), (a > 0) (cardioïde)
i) ρ = ae λθ , (a,λ) ∈ R ∗
+ × R (spirale logarithmique).
6.1.20 Déterminer les développées successives
de C 0 :
x = sin t ch t + cos t sh t
y = sin t sh t − cos t ch t.
6.1.21 Soient Γ une courbe, enveloppe d'une famille
de
droites
(D θ )
d'équations
normales
x cos θ + y sin θ = p(θ), où p : R −→ R est de classe suffisante, C sa développée, M ∈ Γ , C 1 le centre de courbure
en M à Γ, C 2 le centre de courbure en C 1 à C. Déterminer
Γ pour que la droite (MC 2 ) admette une direction fixe.
Exercices