Chapitre 6 • Géométrie
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Un point C
x =
3t
2
2 p
+ p, y = −
t
3
p 2
est sur Γ si et seulement si y
2
= 2 px , c'est-à-dire :
−
t
3
p 2
2
= 2 p
3t
2
2 p
+ p
.
Et on a : t
6
− 3 p
4 t
2
− 2 p
6
= 0 ⇐⇒ (t
2
+ p
2
)
2
(t
2
− 2 p
2
) = 0 .
Donc Γ ∩ C est formée de deux points symétriques par rapport à x x ; l'un d'eux, correspondant à la valeur t = p
√
2 du paramètre t sur C, a pour coordonnées :
x = 4 p, y = −2 p
√
2.
Exercice-type résolu
Exemple de développée
Déterminer la développée C de la courbe Γ définie par : y = − ln cos x, x ∈]0 ; π/2[.
Conseils
On calcule avec les notations classiques :
x
, y
, s
, tan ϕ, ϕ
, R,
− →
T ,
− →
N , C.
(X,Y ) sont les coordonnées du point courant de la développée C et x est le paramètre.
On contrôle graphiquement que C semble
bien être la développée de Γ.
Solution
On a, successivement :
• x
= 1, y
= tan x, s
=
x 2 + y 2 =
1 + tan 2 x =
1
cos x
• tan ϕ =
y
x = tan x, ϕ ≡ x [π], ϕ
= 1
• R =
ds
dϕ
=
1
cos x
•
− →
T =
−→
dM
ds
=
x
s
− →
i +
y
s
− →
j = cos x
− →
i + sin x
− →
j ,
− →
N = Rot π/2 (
− →
T ) = − sin x
− →
i + cos x
− →
j
•
−→
OC =
− − →
O M + R
− →
N = X
− →
i + Y
− →
j , où :

  
  
X = x +
1
cos x
(− sin x) = x − tan x
Y = − ln cos x +
1
cos x
cos x = 1 − ln cos x.
On conclut que la développée C de Γ est la courbe de représentation paramétrique :
X = x − tan x, Y = 1 − ln cos x,
x ∈ ]0 ; π/2[.
y
x
O
π
Γ
1
1
2
C
C
M