6.1 • Courbes du plan
221
Une équation cartésienne de N (s) est (avec des coordonnées notées X,Y pour ne pas confondre avec les
coordonnées x,y du point courant M(s) de Γ) :
x
(s)
X − x(s)
+ y
(s)
Y − y(s)
= 0.
D'après 6.1.1 Th. p. 205, on obtient une RP de l'enveloppe de la famille de droite
N (s)
s
en résolvant le
système d'équations (d'inconnues X,Y) :
N (s) | x (s)X + y (s)Y = x (s)x(s) + y (s)y(s)
N (s) | x (s)X + y (s)Y = x (s)x(s) + y (s)y(s) + x 2 (s) + y 2 (s).
On suppose : ∀s ∈ J, x (s)y (s) − x (s)y (s) = 0 .
On déduit : X = x −
x 2 + y 2
x y − x y y , Y = y +
x 2 + y 2
x y − x y x .
Comme R =
(x 2 + y 2 )
3
2
x y − x y et
− →
N = (x 2 + y 2 )
− 1
2 (−y − →
i + x − →
j ) , on obtient, pour le point courant P de l'enveloppe :
−→
O P = X
− →
i + Y
− →
j =
− − →
O M + R
− →
N =
−→
OC,
et donc P = C .
Finalement, l'enveloppe des normales à Γ est la développée de Γ.
᭿
Remarque :
Le point caractéristique de la normale en M à Γ
est le centre de courbure C en M à Γ.
Exemple :
Déterminons, en utilisant le théorème précédent, la développée d'une parabole.
La parabole Γ, d'EC y
2
= 2 px (p > 0 fixé) admet la RP : x =
t
2
2 p
, y = t (t ∈ R).
Un vecteur tangent en M(t) à Γ est :
− →
dM
dt
=
t
p
− →
i +
− →
j .
On en déduit une EC de la normale N (t) en M(t) à Γ :
t
p
x −
t
2
2 p
+ (y − t) = 0,
ou encore :
t
p
x + y =
t
3
2 p 2 + t.
On obtient une RP de l'enveloppe C de
N (t)
t∈R
en résolvant le système (d'inconnues
x,y) :

  
  
N (t) |
t
p
x + y =
t
3
2 p 2 + t
N (t) |
1
p
x =
3t
2
2 p 2 + 1.
On obtient : x =
3t
2
2 p
+ p , y = −
t
3
p 2 .
On peut préciser le tracé de C par rapport à Γ, en déterminant Γ ∩ C.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Γ
M
C
C
y
x
O
Γ
M
C
C
4p
p
2p 2
On peut bien sûr aussi déterminer la
développée d’une parabole en revenant
à la Définition p. 251.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier