Chapitre 6 • Géométrie
220
6.1.4 Développée d'une courbe du plan
Définition
On appelle développée d'une courbe Γ du plan l'ensemble des centres de courbure C
en M à Γ lorsque M décrit Γ.
Exemple :
Développée de l'ellipse
Soit Γ l'ellipse de RP
x = a cos t
y = b sin t
, t ∈ R (a > 0,b > 0) .
On a successivement :
• x = −a sin t, y = b cos t
• s = (x 2 + y 2 )
1
2 = (a
2 sin
2 t + b
2 cos
2 t)
1
2
• tan ϕ =
y
x = −
b
a
cotan t , (1 + tan
2
ϕ)dϕ =
b
a sin
2 t
dt, dϕ =
ab
a 2 sin
2 t + b 2 cos 2 t
dt
• R =
ds
dϕ
=
(a
2 sin
2 t + b
2 cos
2 t)
3
2
ab
•
− →
T =
− →
dM
ds
=
x
s
− →
i +
y
s
− →
j = (a
2 sin
2 t + b
2 cos
2 t)
− 1
2 (−a sin t
− →
i + b cos t
− →
j ) ,
− →
N = Rot π
2
(
− →
T ) = (a
2 sin
2 t + b
2 cos
2 t)
− 1
2 (−b cos t
− →
i − a sin t
− →
j )
•
−→
OC =
− − →
O M + R
− →
N = X
− →
i + Y
− →
j , où :
X = a cos t +
(a
2 sin
2 t + b
2 cos
2 t)
3
2
ab
−b cos t
(a 2 sin
2 t + b 2 cos 2 t)
1
2
= a cos t − cos t
a sin
2 t +
b
2
a
cos
2 t
=
a
2
− b
2
a
cos
3 t
Y = b sin t +
(a
2 sin
2 t + b
2 cos
2 t)
3
2
ab
−a sin t
(a 2 sin
2 t + b 2 cos 2 t)
1
2
= b sin t − sin t
a
2
b
sin
2 t + b cos
2 t
= −
a
2
− b
2
b
sin
3 t.
La développée C de Γ admet donc comme RP :

  
  
X =
a
2
− b
2
a
cos
3 t
Y = −
a
2
− b
2
b
sin
3 t
et est donc affine d'une astroïde.
Théorème
La développée de Γ est aussi l'enveloppe des normales à Γ.
Preuve :
Paramétrons Γ par l'abscisse curviligne :
M : s ∈ J −→ M(s) = O + x(s)
− →
i + y(s)
− →
j ,
et notons N (s) la normale à Γ en M(s).
y
x
O
Γ
M
C
C
a
b
a
2 -- b
2
b
a
2 -- b
2
a
C’est la méthode pratique pour
déterminer la développée d’une courbe
du plan.
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Géométrie
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Gé
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On arrive à une représentation
paramétrique de la développée de Γ.
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