6.1 • Courbes du plan
219
Dans ce cas, C R et Γ ont un contact d'ordre 4 , et on dit que C R est le cercle surosculateur
en O à Γ.
Exemple : cercles surosculateurs aux sommets d'une ellipse
Soit Γ l'ellipse d'équation cartésienne
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1 (a > b > 0), A,B,A ,B
ses sommets.
On a déjà calculé les rayons de courbure
en ces points (cf. 4.2.1 Exemple p. 242) :
R B = R B =
a
2
b
, R A = R A =
b
2
a
.
On en déduit les centres de courbure correspondants C B , C B , C A , C A , et le
tracé des quatre cercles surosculateurs
aux sommets de Γ.
On peut remarquer que, par exemple, C A est le point d'intersection de (A A ) avec la perpendiculaire menée de H (a,b) à (AB) .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
y
x
O
Γ
C A
C B
C B'
C A'
B
B'
A
A'
H
Le tracé de Γ est graphiquement très
proche d'un raccord d'arcs de ces quatre
cercles.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 6.1.14 à 6.1.18.
Les méthodes à retenir
Centre de courbure
• Pour déterminer le centre de courbure C en un point M d’une courbe Γ (ex. 6.1.14 à 6.1.18), calculer d’abord
le rayon de courbure R de Γ en M et le vecteur normal unitaire
− →
N en M, puis appliquer la formule :
−→
MC = R
− →
N .
6.1.14 Déterminer le centre de courbure C en A(1,0) à la
courbe Γ d'équation polaire ρ =
2
1 + cos
θ
2
.
6.1.15 Déterminer les centres de courbure en O à la courbe Γ d'équation polaire ρ =
sin 2θ
2 cos θ − 1
.
6.1.16 Un point M décrit l'ellipse Γ d'EC
x
2
4
+ y
2
= 1 ;
soient C le centre de courbure en M à Γ, P le symétrique
de C par rapport à M . Déterminer le lieu de P.
6.1.17 On considère, pour λ ∈ R ∗
+ , la parabole Γ λ d'EC :
(y − λx)
2
− (y + λx) = 0 .
Déterminer le lieu du centre de courbure en O à Γ λ ,
lorsque λ décrit R ∗
+ .
6.1.18 Un point M décrit une hyperbole équilatère H ; la
normale en M à H recoupe H en un point N. Soit C le
centre de courbure en M à H. Montrer :
− − →
M N = −2
−→
MC .
Exercices