Chapitre 6 • Géométrie
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Le demi-cercle de C λ passant par O est la courbe représentative de la fonction
g λ : ] − λ; λ[−→ R définie par : g λ (x) = λ −
√
λ 2 − x 2 .
Étudions la position relative et le contact de C λ et Γ en O , c'est-à-dire le signe et le degré de la
partie principale, lorsque x tend vers 0, de f (x) − g λ (x).
On a, par un calcul de développement limité, lorsque x tend vers 0 :
g λ (x) = λ − λ
1 −
x
2
λ 2
= λ − λ
1 −
x
2
2λ 2 + o
x→0
(x
2 )
=
x
2
2λ
+ o(x
2 ).
D'autre part, d'après le théorème de Taylor-Young :
f (x) = f (0) + x f
(0) +
x
2
2
f
(0) + o(x
2 ) =
x
2
2
f
(0) + o(x
2 )
=
x
2
2R
+ o(x
2 ),
où R est le rayon de courbure de Γ en O .
On obtient ainsi : f (x) − g λ (x) =
1
2R
−
1
2λ
x
2
+ o(x
2
) .
Si λ > R , alors Γ est, au voisinage pointé de
O , strictement au-dessus de C λ .
Si λ < R , alors Γ est, au voisinage pointé de
O , strictement au-dessous de C λ .
Supposons maintenant λ = R et que f soit de classe C
3 au voisinage de 0.
On a alors :

  
  
g R (x) =
x
2
2R
+ o(x
3
)
f (x) =
x
2
2R
+
x
3
6
f (0) + o(x
3
),
d'où :
f (x) − g R (x) =
f (0)
6
x
3
+ o(x
3
).
En général, c'est-à-dire si f (0) = 0, on a :
f (x) − g R (x) ∼
x→0
f (0)
6
x
3 ,
ce qui montre que, au voisinage de O , C R traverse Γ.
On dit que C R et Γ est un contact d'ordre 3 en O , et C R
est appelé le cercle osculateur en O à Γ. Ce cercle C R
est, parmi les cercles C λ (λ ∈]0; +∞[) celui qui approche
« le plus » Γ au voisinage de O .
En pratique, il est fréquent que Γ admette y y comme axe de symétrie, c'est-à-dire que f soit
paire. Supposons donc f paire et de classe C
4 au voisinage de 0. On a alors f (0) = 0 et :

  
  
f (x) =
x
2
2R
+ O(x
4
)
g R (x) =
x
2
2R
+ O(x
4
),
d'où :
f (x) − g R (x) = O(x
4
) .
y
x
O
Γ
C λ (λ < R)
C λ (λ > R)
y
x
O
Γ
C R
Ω R
« Au voisinage pointé de O » signifie :
lorque M est voisin de O mais distinct
de O.
Le schéma est peu convaincant,car Γ et
C R sont très proches l’un de l’autre,
près de O : le contact est d’ordre 3 .