6.1 • Courbes du plan
217
Exemple :
Déterminer le cercle de courbure (par son centre et son rayon) en M , correspondant à
t =
1
3
, à la courbe Γ de RP

  
  
x =
t
2
2
−
t
4
4
y =
2
3
t
3
.
On a, en tout point M(t) de Γ :
• x = t − t
3 , y = 2t
2
• s 2 = x 2 + y 2 = t
2
(1 − t
2
)
2
+ 4t
2
= t
2
(1 + t
2
)
2 , d'où (pour t > 0) s = t (1 + t
2
)
•
− →
T =
− →
dM
ds
=
x
s
− →
i +
y
s
− →
j =
1 − t
2
1 + t 2
− →
i +
2t
1 + t 2
− →
j ,
− →
N = Rot π
2
(
− →
T ) = −
2t
1 + t 2
− →
i +
1 − t
2
1 + t 2
− →
j
• x = 1 − 3t
2 , y = 4t, x y − x y = 2t
2
2(1 − t
2
) − (1 − 3t
2
)
= 2t
2
(1 + t
2
)
• R =
s 3
x y − x y =
t
2
(1 + t
2
)
2
•
−→
OC =
− − →
O M + R
− →
N = X
− →
i + Y
− →
j , où :

  
  
X =
t
2
2
−
t
4
4
+
t
2
(1 + t
2
)
2
−2t
1 + t 2 = −
t
2
2
−
5t
4
4
Y =
2
3
t
3
+
t
2
(1 + t
2
)
2
1 − t
2
1 + t 2 =
t
2
+
2
3
t
3
−
t
5
2
.
En particulier, pour t =
1
3
, on obtient :
x =
17
324
0,0525, y =
2
81
0,0247,
x =
8
27
0,296, y =
2
9
0,222 ,
R =
50
243
0,206,
C

 
 
X = −
23
324
−0,071
Y =
46
243
0,190.
2) Notion de cercle osculateur
En se plaçant dans le repère de Frenet en M
à Γ, on se ramène au cas où Γ est tangente en O
à x x, ce que nous supposons maintenant.
Alors, Γ est, au voisinage de O , la courbe représentative d'une fonction f de classe C
2 au voisinage
de 0.
Supposons f (0) = 0, et même f (0) > 0, le cas
f (0) < 0 s'y ramenant par une symétrie.
Soient λ ∈ R ∗
+ , Ω(0,λ), C λ le cercle de centre Ω et passant par O . Une équation cartésienne
de C λ est :
x
2 + y
2 − 2λy = 0.
C
y
y
x
x
X
M
R
O
Y
y
x
O
Γ
On a déterminé le centre de courbure
C en tout point M(t) de Γ.
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
L'étude suivante, qui est horsprogramme, permet d'appréhender la
singularité du cercle de courbure en M
à Γ parmi les cercles tangents en M à Γ.
Équation cartésienne générale d’un
cercle tangent en O à Ox.
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