Chapitre 6 • Géométrie
216
Proposition
Formules de Frenet
d
− →
T
ds
=
− →
N
R
,
d
− →
N
ds
= −
− →
T
R
.
Remarque :
On peut retenir les formules de Frenet sous la forme abusive :




d
− →
T
ds
d
− →
N
ds



 =


0
1
R
−
1
R
0




− →
T
− →
N

 .
6.1.3 Centre de courbure
On garde ici les hypothèses et notations du § 6.1.2.
1) Définition
Définition 1
On appelle centre de courbure en M de Γ le point C de E 2 défini par :
−→
MC = R
− →
N .
Remarque :
Puisque, lors d'un changement de paramètre admissible, R et
− →
N sont simultanément
conservés ou changés de signe, le centre de courbure est conservé :
Γ
T
N
C
Γ
T
N
C
Proposition
Le centre de courbure C en M à Γ est situé dans la concavité locale en M de Γ.
Preuve
La courbe Γ admet un paramétrage normal f : J −→ E 2
s −→ f (s)
par l'abscisse curviligne. D'après Géométrie
PCSI-PTSI, § 3.1.2 2), la concavité locale en M de Γ est le demi-plan limité par la tangente en M à Γ et
« contenant »
− −− →
f
(s). Mais ici,
−−→
f
(s) =
− →
T ,
− −− →
f
(s) =
d
− →
T
ds
=
1
R
− →
N et
−→
MC = R
− →
N , donc
− −− →
f
(s) et
−→
MC sont colinéaires et de même sens. On conclut que C est dans ce demi-plan.
᭿
Définition 2
On appelle cercle de courbure en M à Γ le
cercle de centre C (centre de courbure en M
à Γ) et de rayon |R| (où R est le rayon de courbure en M à Γ).
Γ
T
N
C
M
͉R͉
Remarquer l’intervention d’une matrice
antisymétrique d’ordre 2.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Le cercle de courbure en M à Γ est
tangent en M à Γ, puisqu'il est centré
sur la normale en M à Γ.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier