6.1 • Courbes du plan
215
Supposons que O soit un point régulier de Γ, c'est-à-dire :
x (t 0 ),y (t 0 )
= (0,0). Comme Γ
est tangente en O à x x, on a alors : y (t 0 ) = 0 et x (t 0 ) = 0.
Au voisinage de t 0 , x est donc un C
2 -difféomorphisme, et on peut paramétrer localement Γ par
y = f (x) , où f est de classe C
2 au voisinage de 0, et f (0) = f (0) = 0 .
Supposons f (0) = 0 ; on a alors :
R O =
1 + f 2 (0)
3
2
f (0)
=
1
f (0)
.
D'autre part, d'après le théorème de Taylor-Young, on a, au voisinage de 0 :
f (x) = f (0) + x f
(0) +
x
2
2
f
(0) + o(x
2 ) =
x
2
2
f
(0) + o(x
2 ),
d'où :
x
2
2 f (x)
− −− →
x→0
1
f (0)
= R O .
Ainsi : R O = lim
t→t 0
x
2
2y
.
Calcul du rayon de courbure en polaires
Soit Γ une courbe admettant une équation polaire ρ = ρ(θ), où ρ est de classe C 2 . On calculera successivement :
• s par s = (ρ 2 + ρ 2 )
1
2
• tan V par tan V =
ρ
ρ
• dV en différentiant tan V =
ρ
ρ :
(1 + tan
2 V )dV =
ρ 2 − ρρ
ρ 2
dθ, d’où dV =
ρ 2 − ρρ
ρ 2 + ρ 2 dθ
• dϕ par ϕ = θ + V, donc dϕ = dθ + dV
• R par R =
ds
dϕ
.
Calcul théorique du rayon de courbure en polaires
En reprenant et complétant l'étude précédente, on a :
• s = (ρ
2
+ ρ 2 )
1
2
• dV =
ρ 2 − ρρ
ρ 2 + ρ 2 dθ
• dϕ = dθ + dV =
ρ
2
+ 2ρ 2 − ρρ
ρ 2 + ρ 2
dθ
• R =
ds
dϕ
=
(ρ
2
+ ρ 2 )
3
2
ρ 2 + 2ρ 2 − ρρ .
En particulier, si Γ passe par O pour une valeur θ 0 de θ, alors :
R O =
ρ 2 (θ 0 )
3
2
2ρ 2 (θ 0 )
=
|ρ (θ 0 )|
2
.
C’est la méthode pratique pour calculer
le rayon de courbure en tout point d’une
courbe donnée par une équation polaire.
Formule hors programme,mais souvent
commode.