Chapitre 6 • Géométrie
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3) Rayon de courbure
f : I −→ E 2 désigne un arc paramétré régulier de classe C
2 , Γ = f (I ) sa trajectoire, s une
abscisse curviligne sur Γ. On a vu (cf. 6.1.2 2) Prop. 1 p. 212) que Γ admet s (ou : f ◦ s −1 ) pour
paramétrage normal.
On note
− →
T =
− →
dM
ds
,
− →
N = Rot π
2
(
− →
T ) , ϕ ≡
(
− →
i ,
− →
T ) [2π].
Définition
On appelle :
• rayon de courbure en un point M(s) de Γ le réel R défini par : R =
ds
dϕ
• courbure en M(s) à Γ le réel γ défini par : γ =
1
R
.
On admet que R ou γ puissent prendre les valeurs 0, +∞, −∞.
Remarque :
Par un changement de paramètre admissible direct (resp. indirect), R et γ sont conservés
(resp. changés en leurs opposés).
Calcul théorique du rayon de courbure
Supposons Γ définie par un paramétrage régulier de classe C
2
x = x(t)
y = y(t)
. On a alors :
• s = (x 2 + y 2 )
1
2
•
x = s cos ϕ
y = s sin ϕ
,
d'où
x = s cos ϕ − s sin ϕ ϕ
y = s sin ϕ + s cos ϕ ϕ
, puis x y − x y = s 2 ϕ , donc
ϕ =
x y − x y
(x 2 + y 2 )
1
2
• R =
s
ϕ =
(x 2 + y 2 )
3
2
x y − x y .
Examinons deux cas particuliers fréquents.
1) Courbe représentative d'une fonction
Supposons que Γ soit donnée par y = f (x) où f : I −→ R est de classe C
2 . Alors, Γ est paramétrée par le paramètre x, et, en tout point où f ne s'annule pas :
R =
1 + f 2 (x)
3
2
f (x)
,
ce qu'on peut écrire abusivement : R =
(1 + y 2 )
3
2
y
, les accents indiquant ici la dérivation par
rapport à x.
On peut admettre que R = ±∞ en un point où f s'annule.
2) Courbe tangente en O à x
x
Supposons que Γ soit tangente en O à x x, et
notons R O le rayon de courbure de Γ en O .
La courbe Γ admet une représentation paramétrique
x = x(t)
y = y(t)
, et le point O de Γ correspond
à une (plusieurs?) valeur(s) t 0 du paramètre t.
Γ
y
x
O
On confond R et R(s),γ et γ (s).