6.1 • Courbes du plan
213
Rappelons qu'une courbe Γ est dite régulière si et seulement si Γ admet au moins un paramétrage régulier f. On peut alors paramétrer Γ par l'abscisse curviligne (en choisissant une origine des abscisses curvilignes sur Γ) et on obtient ainsi un paramétrage normal s −→ M(s) de Γ.
Nous supposons, pour la fin de ce § 2), que Γ est paramétrée par une abscisse curviligne s.
Définition-Notation 2
• On appelle vecteur tangent unitaire (orientant) de Γ en M(s) le vecteur :
− →
T =
− →
dM
ds
• On note :
− →
N = Rot π
2
(
− →
T )
• (M;
− →
T ,
− →
N ) est un r.o.n.d., appelé repère de Frenet en M à Γ.
Remarque :
Par un changement de paramètre admissible
direct (resp. indirect), s,
− →
T ,
− →
N sont conservés
(resp. changés en leurs opposés).
Proposition 2
Soit f : J −→ E 2 un paramétrage normal de classe C k (k 2) de Γ. Il existe une
application ϕ : J −→ R de classe C k−1 telle que :
∀s ∈ J,
− →
T (s) = cos ϕ(s)
− →
i + sin ϕ(s)
− →
j .
Remarques :
1) Avec les hypothèses et notations de la Prop. précédente, et avec des notations habituelles
abusives, on a :
• ϕ ≡
(
− →
i ,
− →
T ) [2π]
• cos ϕ =
dx
ds
et sin ϕ =
dy
ds
• tan ϕ =
dy
dx
en tout point en lequel x ne s'annule
pas.
2) Par un changement de paramètre admissible direct (resp. indirect), ϕ est conservé (resp.
changé en son opposé).
Cas des coordonnées polaires
Soit Γ une courbe admettant une équation polaire ρ = ρ(θ), où ρ : I −→ R est de classe C
2 .
On a noté :
− →
T =
− →
dM
ds
,
ϕ tel que ϕ ≡
(
− →
i ,
− →
T ) [2π],
− → u = cos θ
− →
i + sin θ
− →
j .
On note V = ϕ − θ.
On a alors :
V ≡
( − → u ,
− →
T ) [2π] et ϕ ≡ θ + V [2π].
De plus, en tout point en lequel ρ
ne s'annule pas, on a : tan V =
ρ
ρ .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
M
Γ
T
N
M
Γ
T
ϕ
y
O
x
j
i
Γ
T
u
u
j
i
V
ϕ
θ
y
x
O
M
L’avantage de paramétrer une courbe Γ
à l’aide de l’abscisse curviligne réside
dans le fait que, pour tout M de Γ, le
vecteur tangent
− →
dM
ds
est unitaire.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
L'usage a consacré la confusion entre
− →
T (t) ,
− →
T (s) ,
− →
T , et entre
− →
N (t),
− →
N (s) ,
− →
N . Le contexte permet
de rétablir, si nécessaire, les notations
correctes.
Formules utiles en pratique.
213
Rappelons qu'une courbe Γ est dite régulière si et seulement si Γ admet au moins un paramétrage régulier f. On peut alors paramétrer Γ par l'abscisse curviligne (en choisissant une origine des abscisses curvilignes sur Γ) et on obtient ainsi un paramétrage normal s −→ M(s) de Γ.
Nous supposons, pour la fin de ce § 2), que Γ est paramétrée par une abscisse curviligne s.
Définition-Notation 2
• On appelle vecteur tangent unitaire (orientant) de Γ en M(s) le vecteur :
− →
T =
− →
dM
ds
• On note :
− →
N = Rot π
2
(
− →
T )
• (M;
− →
T ,
− →
N ) est un r.o.n.d., appelé repère de Frenet en M à Γ.
Remarque :
Par un changement de paramètre admissible
direct (resp. indirect), s,
− →
T ,
− →
N sont conservés
(resp. changés en leurs opposés).
Proposition 2
Soit f : J −→ E 2 un paramétrage normal de classe C k (k 2) de Γ. Il existe une
application ϕ : J −→ R de classe C k−1 telle que :
∀s ∈ J,
− →
T (s) = cos ϕ(s)
− →
i + sin ϕ(s)
− →
j .
Remarques :
1) Avec les hypothèses et notations de la Prop. précédente, et avec des notations habituelles
abusives, on a :
• ϕ ≡
(
− →
i ,
− →
T ) [2π]
• cos ϕ =
dx
ds
et sin ϕ =
dy
ds
• tan ϕ =
dy
dx
en tout point en lequel x ne s'annule
pas.
2) Par un changement de paramètre admissible direct (resp. indirect), ϕ est conservé (resp.
changé en son opposé).
Cas des coordonnées polaires
Soit Γ une courbe admettant une équation polaire ρ = ρ(θ), où ρ : I −→ R est de classe C
2 .
On a noté :
− →
T =
− →
dM
ds
,
ϕ tel que ϕ ≡
(
− →
i ,
− →
T ) [2π],
− → u = cos θ
− →
i + sin θ
− →
j .
On note V = ϕ − θ.
On a alors :
V ≡
( − → u ,
− →
T ) [2π] et ϕ ≡ θ + V [2π].
De plus, en tout point en lequel ρ
ne s'annule pas, on a : tan V =
ρ
ρ .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
M
Γ
T
N
M
Γ
T
ϕ
y
O
x
j
i
Γ
T
u
u
j
i
V
ϕ
θ
y
x
O
M
L’avantage de paramétrer une courbe Γ
à l’aide de l’abscisse curviligne réside
dans le fait que, pour tout M de Γ, le
vecteur tangent
− →
dM
ds
est unitaire.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
L'usage a consacré la confusion entre
− →
T (t) ,
− →
T (s) ,
− →
T , et entre
− →
N (t),
− →
N (s) ,
− →
N . Le contexte permet
de rétablir, si nécessaire, les notations
correctes.
Formules utiles en pratique.