Chapitre 6 • Géométrie
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f : I −→ E 2 désigne un arc paramétré de classe C
1 (dans 4.1) ou de classe C
2 (dans 4.2),
Γ = f (I ) sa trajectoire. Pour t ∈ I, on pourra noter M(t) au lieu de f (t). Pour t ∈ I, on note
x(t),y(t)
les coordonnées de M(t) dans R ; ainsi, pour tout t de I :
− −−− →
O M(t) = x(t)
− →
i + y(t)
− →
j .
Définition 1
On appelle abscisse curviligne sur Γ toute application s : I −→ R de classe C 1
sur I telle que :
∀t ∈ I, s
(t) = || f
(t)|| =
x
2 (t) + y
2 (t).
Définition 2
Soient s une abscisse curviligne sur Γ, a,b ∈ I, A = f (a), B = f (b). On appelle :
• longueur (algébrique) de l'arc
AB sur Γ, et on note ici l(
AB), le réel s(b) − s(a),
c'est-à-dire :
l(
AB) =
b
a
|| f
(t)||dt
• longueur de l'arc
AB de Γ, la valeur absolue de la longueur (algébrique) de
AB
sur Γ.
Proposition 1
Additivité de la longueur d'arc
Soient Γ 1 , Γ 2 deux courbes de classe C 1 telles que l'extrémité de Γ 1 soit l'origine de
Γ 2 . Alors la longueur de la courbe Γ obtenue par la succession de Γ 1 et Γ 2 est la
somme des longueurs de Γ 1 et Γ 2 .
Proposition 2
Calcul de l'abscisse curviligne en polaires
Soit Γ une courbe d'équation polaire ρ = ρ(θ), où ρ : I −→ R est de classe C 1 .
Alors, en notant s une abscisse curviligne sur Γ, on a :
∀θ ∈ I, s
(θ) =
ρ
2
(θ) + ρ
2
(θ)
1
2 .
2) Représentation paramétrique en fonction de l'abscisse curviligne
Définition 1
On appelle paramétrage normal de f tout paramétrage admissible g : J −→ E 2 de
classe C 1 de f tel que : ∀u ∈ J, ||g (u)|| = 1 .
Proposition 1
Si f est régulier, alors :
• pour toute abscisse curviligne s sur Γ, f ◦ s −1 est un paramétrage normal de f
• pour tout paramétrage normal g de f, il existe une abscisse curviligne s sur Γ telle
que :
g = f ◦ s
−1 ou g = f ◦ (−s)
−1
.
On dit plus simplement que s et −s sont des paramétrages normaux de Γ.
Rappelons que Γ est la trajectoire de la
représentation paramétrique
− − →
O M =
− − →
f (t) , t ∈ I.
Le contexte indiquera si les longueurs
d'arcs envisagées sont « algébriques »
(orientées),ou « arithmétiques » (positives
ou nulles).
Rappelons que f : I −→ E 2 ,de classe
C 1 ,est une représentation paramétrique
de la courbe Γ.
Rappelons que le paramétrage f est dit
régulier si et seulement si :
∀t ∈ I ,
−−→
f
(t) =
− →
0 .