6.1 • Courbes du plan
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6.1.2 Rappels sur l’abscisse curviligne
et le rayon de courbure
1) Abscisse curviligne
L'étude se situe dans le plan affine orienté, noté E 2 , éventuellement muni d'un repère orthonormé direct R = (O;
− →
i ,
− →
j ) ; le produit scalaire est noté (·|·) ou ·, la norme associée est notée
|| · ||, et la distance de deux points A,B est notée d(A,B), ou ||
− →
AB||, ou AB.
I désigne un intervalle de R , non vide ni réduit à un point (l'étude peut s'adapter au cas d'une
réunion de tels intervalles), et k désigne un entier 1 ou = +∞.
Classiquement, on identifie E 2 à R
2 .
6.1.9 Déterminer l'enveloppe des tangentes communes à
deux cercles qui varient en passant par deux mêmes points
fixes et en restant orthogonaux.
(resp. A) en un point noté P (resp. Q ). Déterminer l'enveloppe de la droite (P Q).
6.1.12 Soient a ∈ R ∗
+ , A(a,0), A (−a,0) , D la droite
d'équation y = a. À tout point M de D , on associe le point
M , intersection de la perpendiculaire en A à (M A) et de
la perpendiculaire en A à (M A ).
a) Quel est le lieu C de M ?
b) Déterminer l'enveloppe E de la droite (M M ).
Q
P
M
A
B
C
M
A'
O
M'
A
D
y
x
6.1.10 On note, pour λ ∈ R,
C λ :
x =
3t − t
3
t − λ
,
y =
1 − 3t
2
t − λ
.
a) α) Montrer que C λ admet un point d'inflexion et un
seul ; on note D λ la tangente à C λ en ce point d'inflexion.
β) Déterminer l'enveloppe de (D λ ) λ∈R .
b) α) Montrer que C λ admet une asymptote et une seule,
notée ∆ λ , en supposant λ ∈ {−
√
3,0,
√
3}.
β) Déterminer l'enveloppe de (∆ λ ) λ∈R−{−
√
3,0,
√
3} .
6.1.11 Un point M décrit un cercle C de diamètre AB. La
droite (AM) (resp. (B M)) coupe la tangente à C en B
6.1.13 Soit C la courbe d'équation polaire ρ =
1
cos 3θ
.
a) Tracer C.
b) Déterminer l'enveloppe des cordes de C vues de O sous
un angle droit.