Chapitre 6 • Géométrie
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6.1.1 Déterminer l'enveloppe de la famille de droites
(D t ) t∈R , dont on donne l'équation cartésienne :
a) (1 − t
2
)x + 2ty − (1 + t
2
) = 0
b) x ch
2 t + y sh
2 t − ch
2 2t = 0
c) (t − 2)x + (3t − 2t
2
)y + t
3
= 0.
6.1.2 On donne un cercle C et une droite D . Un cercle Γ
de rayon constant R se déplace parallèlement à D .
Déterminer l'enveloppe de la corde commune à C et Γ.
6.1.6 Un point M décrit la parabole C d'équation
y
2
= 2 px (p > 0 fixé) ; soient T la tangente en M à C et
T la droite symétrique de T par rapport à la parallèle à y y
menée par M , parallèlement à x x. Déterminer l'enveloppe
de T .
Γ
R
D
C
A
B
x
y
O
x A
x B
H
y
O
x
P
M
I
C
y
O
x
M
C
T
T'
y
O
x
P
Q
t
y
b
d
a x
O
E
y
Q
A
O
P
x
6.1.3 Soient H l'hyperbole d'équation xy = 1 , et A,B
deux points de H d'abscisses double l'une de l'autre.
Déterminer l'enveloppe de (AB) .
6.1.4 Soient (a,b) ∈ (R ∗ )
2 , A(a,b), P ∈ x x, Q ∈ y y
tels que (AP) ⊥ (AQ) . Déterminer l'enveloppe de la droite (P Q).
6.1.5 Un point M décrit la parabole C d'équation
y
2
= 2 px ( p > 0 fixé) ; soient P la projection orthogonale de M sur y y , I le milieu de O M. Déterminer l'enveloppe de la droite (I P).
6.1.7 Soient t ∈ R , P(cos t,0), Q(0,sin t) . Déterminer
l'enveloppe de la médiatrice de (P Q).
6.1.8 Soient (a,b,d) ∈ R ∗
+ × R ∗
+ × R et E l'ellipse d'équation
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1.
Déterminer l'enveloppe des cordes de E dont le milieu est
sur la droite d'équation x = d.
Exercices